1) Сколько точек пересечения с прямой может иметь график кубической функции?
2) Верно ли утверждение: если прямая имеет с графиком кубической функции ровно две общие точки, то в одной из них прямая касается графика?
3) Предположим, что кубическая функция является строго монотонной на R. Как различить: убывает она или возрастает?

1. График кубической функции может иметь с прямой 1, 2 или 3 точки пересечения.

Пусть кубическая функция имеет вид

Если прямая не вертикальная, то её можно записать как

Точки пересечения находятся из уравнения

то есть

Это кубическое уравнение, а оно может иметь один, два или три различных действительных корня. Каждый действительный корень соответствует одной точке пересечения графика с прямой.

Например:

• одна точка пересечения — если прямая пересекает график только один раз;

• две точки пересечения — если в одной точке прямая касается графика, а в другой пересекает;

• три точки пересечения — если прямая пересекает график в трёх разных местах.

Если рассматривать вертикальную прямую $x=x_0$, то она пересекает график функции ровно в одной точке, потому что каждому $x$ соответствует только одно значение $y$.

2. Да, утверждение верно.

Если прямая имеет с графиком кубической функции ровно две общие точки, то в одной из этих точек она действительно касается графика.

Объяснение такое. Точки пересечения графика кубической функции и прямой задаются кубическим уравнением. Кубическое уравнение имеет три корня с учётом кратности. Если различных точек пересечения ровно две, значит, один корень простой, а другой двойной.

Двойной корень означает, что в соответствующей точке график функции и прямая не просто имеют общую точку, но ещё и имеют общий наклон. То есть прямая является касательной к графику в этой точке.

Иначе говоря, ситуация «ровно две общие точки» для кубической функции возможна именно тогда, когда одна из точек пересечения является точкой касания.

3. Если кубическая функция строго монотонна на всей $\mathbb R$, то понять, возрастает она или убывает, можно по знаку старшего коэффициента.

Пусть

Главную роль играет коэффициент $a$ при $x^3$.

Если

то кубическая функция идёт «снизу слева вверх направо», то есть она возрастает на $\mathbb R$.

Если

то график идёт «сверху слева вниз направо», то есть функция убывает на $\mathbb R$.

Это связано с поведением функции на бесконечностях:

• при $a>0$:

  $$x\to -\infty \Rightarrow f(x)\to -\infty,$$ $$x\to +\infty \Rightarrow f(x)\to +\infty;$$

  значит, строго монотонная кубическая функция возрастает;

• при $a<0$:

  $$x\to -\infty \Rightarrow f(x)\to +\infty,$$ $$x\to +\infty \Rightarrow f(x)\to -\infty;$$

  значит, строго монотонная кубическая функция убывает.

Также можно смотреть на производную:

Если функция строго возрастает на всей $\mathbb R$, то производная не меняет знак и фактически соответствует возрастанию. Если функция строго убывает, то аналогично соответствует убыванию. Но самый простой способ для кубической функции, уже известной как строго монотонная на всей $\mathbb R$, — посмотреть именно на знак коэффициента при $x^3$.