Из доски 8×8 Миша вырезал по клеткам прямоугольник, а Ксюша разрезала его (тоже по клеткам) на 9 фигурок, и все фигурки оказались разной площади. Какова минимально возможная площадь Мишиного прямоугольника?

Пусть площадь Мишиного прямоугольника равна $S$.

После разрезания на 9 фигурок их площади — это 9 различных положительных целых чисел (ведь каждая фигурка состоит из целых клеток). Самая маленькая возможная сумма 9 различных положительных площадей:

Значит,

Теперь учтём, что Миша вырезал прямоугольник из доски $8\times8$, поэтому его стороны — целые числа не больше 8.

Площадь меньше 48, но не меньше 45 могла бы быть только:

Проверим их:

• $45$ невозможно получить как произведение двух чисел, не превосходящих 8: единственные разложения $45=5\cdot9=3\cdot15$, а 9 и 15 слишком велики.

• $46$ и $47$ — простые числа, то есть тоже не могут быть площадями прямоугольников с целыми сторонами.

Следовательно, площадь должна быть как минимум 48.

Осталось показать, что 48 действительно достижима. Возьмём прямоугольник $6\times8$. Его площадь:

Его можно разрезать на 9 частей с площадями $1,2,3,4,5,6,7,8,12$. Например, схема (каждая буква обозначает одну фигурку, число рядом — её площадь):

AAAA BBBD
AAAA BBBD
AAAA BBGD
AAAA BBGD
CCCCCCC D
EEEEE HH I

Здесь:

• $A$ занимает $3\times4$ клетки, площадь $12$;

• $B$ занимает $2\times4$ клетки, площадь $8$;

• $C$ занимает $7\times1$ клеток, площадь $7$;

• $D$ занимает $1\times6$ клеток, площадь $6$;

• $E$ занимает $5\times1$ клеток, площадь $5$;

• $F$ (его можно выделить как оставшийся прямоугольник $1\times4$) имеет площадь $4$;

• $G$ имеет площадь $3$;

• $H$ имеет площадь $2$;

• $I$ имеет площадь $1$.

Все площади различны, а весь прямоугольник имеет площадь 48.

Значит, минимально возможная площадь Мишиного прямоугольника: