Домашнее задание. 1. В условиях задачи из пример 3 (про доски) изменим решающее правило: будем считать, что измерения распределены равномерно,

если медиана измерений отличается от середины интервала значений менее

чем на 15% размаха. Верно ли, что измерения из таблицы 2 равномерны согласно этому новому правилу?
Пример 3. На деревообрабатывающем комбинате изготавливают мебельные
щиты толщиной 28 мм. Сначала древесину пилят на доски толщиной 30 мм и
длиной 6 м. Со временем пила изнашивается – появляется люфт2
, зубья стачиваются, поэтому спилы становятся менее ровными. Время от времени контрольную партию готовых досок измеряют, чтобы определить степень износа
оборудования. Предположим, что принято правило: если наибольшая и
наименьшая толщина при измерениях 3 досок отличаются больше чем на
1,5 мм, пила подлежит замене. Каждую доску измеряют в 7 местах: через каждый метр.
Определите, подлежит ли замене пила, если измерения очередной доски дали
следующие результаты (см. табл.2).
Табл.2. Контрольные замеры толщины доски, мм
Замер 1 2 3 4 5 6 7
Доска 1 30,7 30,6 30,9 30,6 31,2 31,0 30,9
Доска 2 30,6 30,8 30,0 30,0 31,1 30,9 30,8
Доска 3 30,8 30,6 30,3 30,4 30,6 30,8 30,8

Для того чтобы ответить на вопрос, нужно понять, как применить новое правило для определения равномерности распределения измерений. Согласно новому правилу, измерения будут считаться равномерными, если медиана измерений отличается от середины интервала значений меньше чем на 15% размаха (разница между максимальным и минимальным значениями измерений).

Шаг 1: Рассчитаем размах и медиану для каждой доски.

Для каждой доски находим наибольшее и наименьшее измерение, чтобы вычислить размах. Затем находим медиану (параметр, который делит все измерения на две равные части). Для этого упорядочим измерения по величине и выберем среднее значение.

Доска 1:

• Измерения: 30,7; 30,6; 30,9; 30,6; 31,2; 31,0; 30,9.
• Упорядочим: 30,6; 30,6; 30,7; 30,9; 30,9; 31,0; 31,2.
• Медиана = 30,9 (это среднее значение, так как измерений 7, то медианой будет 4-е значение).
• Размах = максимальное значение - минимальное значение = 31,2 - 30,6 = 0,6 мм.

Доска 2:

• Измерения: 30,6; 30,8; 30,0; 30,0; 31,1; 30,9; 30,8.
• Упорядочим: 30,0; 30,0; 30,6; 30,8; 30,8; 30,9; 31,1.
• Медиана = 30,8.
• Размах = 31,1 - 30,0 = 1,1 мм.

Доска 3:

• Измерения: 30,8; 30,6; 30,3; 30,4; 30,6; 30,8; 30,8.
• Упорядочим: 30,3; 30,4; 30,6; 30,6; 30,8; 30,8; 30,8.
• Медиана = 30,6.
• Размах = 30,8 - 30,3 = 0,5 мм.

Шаг 2: Проверим условие равномерности для каждой доски.

По новому правилу, медиана должна отличаться от середины интервала значений (середина интервала = (максимум + минимум) / 2) не более чем на 15% размаха.

Доска 1:

• Середина интервала = (31,2 + 30,6) / 2 = 30,9.
• Медиана = 30,9.
• Размах = 0,6 мм.
• 15% размаха = 0,6 * 0,15 = 0,09 мм.
• Разница между медианой и серединой интервала = 30,9 - 30,9 = 0 мм, что меньше 0,09 мм.
• Следовательно, распределение измерений на Доске 1 соответствует новому правилу.

Доска 2:

• Середина интервала = (31,1 + 30,0) / 2 = 30,55.
• Медиана = 30,8.
• Размах = 1,1 мм.
• 15% размаха = 1,1 * 0,15 = 0,165 мм.
• Разница между медианой и серединой интервала = 30,8 - 30,55 = 0,25 мм.
• 0,25 мм больше 0,165 мм, следовательно, распределение измерений на Доске 2 не соответствует новому правилу.

Доска 3:

• Середина интервала = (30,8 + 30,3) / 2 = 30,55.
• Медиана = 30,6.
• Размах = 0,5 мм.
• 15% размаха = 0,5 * 0,15 = 0,075 мм.
• Разница между медианой и серединой интервала = 30,6 - 30,55 = 0,05 мм, что меньше 0,075 мм.
• Следовательно, распределение измерений на Доске 3 соответствует новому правилу.

Шаг 3: Заключение.

Измерения на Доске 1 и Доске 3 соответствуют новому правилу, так как медиана отличается от середины интервала значений на меньше чем 15% размаха. Однако, измерения на Доске 2 не соответствуют новому правилу, так как разница между медианой и серединой интервала больше 15% размаха.

Таким образом, согласно новому правилу, только Доска 2 не является равномерной, а Доски 1 и 3 — равномерны.