Миша загадал пятизначное число, все цифры которого различны, а Игорь пытается его угадать. За один ход Игорь может выбрать несколько разрядов числа, а Миша в произвольном порядке сообщает цифры, стоящие в этих разрядах. Порядок, в котором сообщать цифры, выбирает Миша. Например, если задумано число 67890, а Игорь спросил про цифры в разрядах 1 и 5, то Миша может ответить как «6 и 0», так и «0 и 6». За какое наименьшее число ходов Игорь сможет гарантированно узнать число?

Задача сводится к определению минимального количества запросов, которые позволяют с гарантией определить все цифры пятизначного числа, где все цифры различны. Разберем проблему пошагово.

Основные соображения:

1. Число имеет 5 разрядов, все цифры различны. Это значит, что мы должны определить точное положение каждой из пяти уникальных цифр.
2. Игорь может выбрать несколько разрядов для запроса, а Миша сообщает цифры в этих разрядах в произвольном порядке. Таким образом, порядок ответа на запрос Игоря не помогает напрямую, и важно использовать стратегию, которая однозначно восстанавливает число.

Алгоритм решения:

1. Цель: Для каждого разряда числа однозначно определить, какая цифра там стоит.
2. Для этого необходимо минимизировать количество запросов, но при этом учесть, что запросы должны давать полную информацию о числе.

Оптимальная стратегия:

Для гарантированного восстановления числа потребуется разбивать задачу на этапы, чтобы учитывать:

• Какие цифры участвуют в числе.
• Где именно они расположены.

Ключевая идея заключается в том, чтобы с каждым запросом уточнять, какие цифры относятся к каким разрядам.

1. Первая итерация: определение всех цифр числа.

• На первом этапе мы задаем запрос, который включает все 5 разрядов числа. Например, запросим цифры во всех разрядах: {1, 2, 3, 4, 5}.
• Миша вернет 5 различных цифр, но без указания их позиций.
• Таким образом, после первого запроса мы узнаем набор цифр, которые входят в число, но не их порядок.

2. Уточнение позиций цифр.

• Далее требуется определить, какая цифра стоит в каком разряде.
• Для этого мы будем проводить последовательные запросы, исключая определенные разряды, чтобы проверить позицию цифр.

Пример стратегии (по шагам):

1. Запрос 1: Все 5 разрядов: {1, 2, 3, 4, 5}.

   • Ответ: Например, {6, 7, 8, 9, 0}.
   • Теперь мы знаем все цифры числа, но не их порядок.

2. Запрос 2: Разряды {1, 2, 3, 4}.

   • Ответ: Например, {6, 7, 8, 9}.
   • Сравниваем этот ответ с предыдущим. Цифра, которая выпала (в данном случае "0"), принадлежит разряду 5.

3. Запрос 3: Разряды {1, 2, 3}.

   • Ответ: Например, {6, 7, 8}.
   • Сравниваем с предыдущим. Выпавшая цифра ("9") принадлежит разряду 4.

4. Запрос 4: Разряды {1, 2}.

   • Ответ: Например, {6, 7}.
   • Выпавшая цифра ("8") принадлежит разряду 3.

5. Запрос 5: Разряд {1}.

   • Ответ: Например, {6}.
   • Последняя цифра ("7") принадлежит разряду 2, а "6" — разряду 1.

Итог:

Для гарантированного восстановления числа потребуется 5 ходов:

1. На первом ходу мы узнаем все цифры числа.
2. На следующих четырех ходах мы определяем позицию каждой цифры, постепенно исключая разряды.

Таким образом, минимальное число запросов, которое необходимо Игорю для гарантированного определения числа, — 5 запросов.