Найдите наибольший общий делитель этих чисел.
а) 12 и 18;
б) 50 и 175;
в) 675 и 825;
г) 7920 и 594;
д) 324, 111 и 432;
е) 320, 640 и 960.

Найдём наибольший общий делитель (НОД) каждого набора чисел.

а) 12 и 18

Разложим числа на простые множители:

12 = 2² · 3
18 = 2 · 3²

Общие множители: 2 · 3 = 6.

НОД(12, 18) = 6.

б) 50 и 175

50 = 2 · 5²
175 = 5² · 7

Общий множитель — 5² = 25.

НОД(50, 175) = 25.

в) 675 и 825

Разложим на простые множители:

675 = 3³ · 5²
825 = 3 · 5² · 11

Общие множители:

3 · 5² = 3 · 25 = 75.

НОД(675, 825) = 75.

г) 7920 и 594

Удобно применить алгоритм Евклида:

7920 = 594 · 13 + 198
594 = 198 · 3

Последний ненулевой остаток — 198.

НОД(7920, 594) = 198.

д) 324, 111 и 432

Сначала найдём НОД чисел 324 и 111:

324 = 111 · 2 + 102
111 = 102 · 1 + 9
102 = 9 · 11 + 3?

Проверим последний шаг: 102 ÷ 9 = 11, остаток 3? Нет, 9 · 11 = 99, поэтому остаток действительно 3. Тогда:

9 = 3 · 3

Следовательно,

НОД(324, 111) = 3.

Теперь найдём НОД(3, 432):

432 делится на 3 без остатка.

Значит,

НОД(324, 111, 432) = 3.

е) 320, 640 и 960

640 = 320 · 2
960 = 320 · 3

То есть все три числа делятся на 320, причём само число 320 входит в данный набор. Поэтому большего общего делителя быть не может.

НОД(320, 640, 960) = 320.

Ответ:

а) 6;
б) 25;
в) 75;
г) 198;
д) 3;
е) 320.