Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть основание пирамиды — прямоугольник $ABCD$, вершина пирамиды — $S$, а боковая грань $SAB$ перпендикулярна плоскости основания. Обозначим через $H$ основание высоты пирамиды:

Так как грань $SAB$ перпендикулярна основанию, точка $H$ лежит на стороне $AB$.

Рассмотрим одну из остальных боковых граней, например $SBC$. Угол между этой гранью и плоскостью основания равен $60^{\circ }$. Если $d$ — расстояние от точки $H$ до стороны $BC$, то из прямоугольного треугольника, получающегося в сечении, перпендикулярном $BC$,

Отсюда

Значит,

Точно так же для грани $SAD$:

Поскольку $H$ лежит на стороне $AB$, эти два расстояния являются соответственно отрезками от $H$ до концов $B$ и $A$:

Следовательно,

Теперь рассмотрим грань $SCD$. Она также наклонена к основанию под углом $60^{\circ }$, поэтому расстояние от $H$ до стороны $CD$ равно

Но в прямоугольнике это расстояние равно длине стороны $AD$. Значит,

Площадь основания: