Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом α. Отрезок, который соединяет середину высоты пирамиды и середину апофемы, равен а. Найдите объём пирамиды.

Обозначим:

• сторона квадрата основания пирамиды — $s$;

• высота пирамиды — $h$;

• $O$ — центр основания (проекция вершины на основание);

• $M$ — середина стороны основания;

• $AM$ — апофема (высота боковой грани).

1) Связь угла $\alpha$ с $s$ и $h$

Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через вершину $A$, центр основания $O$ и середину стороны $M$. Получаем треугольник $AOM$.

• $AO = h$ — высота пирамиды.

• $OM = \dfrac{s}{2}$ — расстояние от центра квадрата до середины его стороны.

• $\angle AOM = 90^\circ$, потому что $AO$ перпендикулярна плоскости основания, а $OM$ лежит в основании.

Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен двугранному углу вдоль стороны основания. В таком сечении он равен углу между апофемой $AM$ (лежит в боковой грани) и её проекцией на основание $OM$. То есть это угол $\angle AMO$, и он равен $\alpha$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $AOM$:

Отсюда

2) Используем условие про отрезок длины $a$

По условию, отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды и середину апофемы, равен $a$.

В нашем треугольнике $AOM$:

• середина высоты пирамиды — это середина отрезка $AO$. Обозначим её $P$.

• середина апофемы — это середина отрезка $AM$. Обозначим её $Q$.

То есть $P$ — середина стороны $AO$, а $Q$ — середина стороны $AM$ треугольника $AOM$.

В любом треугольнике отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен половине этой третьей стороны. Значит:

Но $PQ=a$, значит

А $OM=\dfrac{s}{2}$, поэтому:

3) Находим высоту $h$

Подставляем $s=4a$ в формулу $h=\dfrac{s}{2}\tan\alpha$:

4) Объём пирамиды

Объём пирамиды:

Подставляем $s=4a$, $h=2a\tan\alpha$:

Ответ: