В основе пирамиды лежит треугольник со сторонами 13, 14, 15 см. Все боковые грани наклонены к

Ответы на вопрос

Отвечает Ящук Елизавета.

Пусть основание пирамиды — треугольник со сторонами $13$ , $14$ , $15$ см.

Так как все боковые грани наклонены к основанию под одним и тем же углом $45^\circ$ , то проекция вершины пирамиды на плоскость основания находится в точке, равноудалённой от всех сторон основания. Значит, это центр вписанной окружности треугольника.

Обозначим радиус вписанной окружности основания через $r$ , а высоту пирамиды через $h$ .

В сечении, перпендикулярном стороне основания, получаем прямоугольный треугольник, где угол между боковой гранью и основанием равен $45^\circ$ . Поэтому

\tan 45^\circ=\frac{h}{r}

Так как

\tan 45^\circ=1,

получаем:

h=r

Теперь найдём $r$ для треугольника со сторонами $13$ , $14$ , $15$ .

Полупериметр:

p=\frac{13+14+15}{2}=21

Площадь основания по формуле Герона:

S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}

S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}

S=\sqrt{7056}=84

Радиус вписанной окружности:

r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4

Значит,

h=4

Апофема каждой боковой грани равна

l=\sqrt{h^2+r^2}

l=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых треугольников:

S_{\text{бок}}=\frac12 \cdot P_{\text{осн}} \cdot l

Периметр основания:

P_{\text{осн}}=13+14+15=42

Тогда

S_{\text{бок}}=\frac12\cdot 42\cdot 4\sqrt2

S_{\text{бок}}=21\cdot 4\sqrt2

S_{\text{бок}}=84\sqrt2

Ответ:

\boxed{84\sqrt2\text{ см}^2}

В основе пирамиды лежит треугольник со сторонами 13, 14, 15 см. Все боковые грани наклонены к основанию под углом 45 градусов. Найти площадь боковой поверхности.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика