1) Кодовый замок имеет 10 кнопок с цифрами от 0 до 9 и открывается одновременным нажатием трех кнопок. Сколько комбинаций у него есть?
2) Делится ли 12! на 280?
3) Через станцию должны пройти одновременно 3 поезда. Имеются 5 свободных путей. Сколькими способами диспетчер может организовать прохождение поездов?

1) Кодовый замок имеет 10 кнопок с цифрами от 0 до 9 и открывается одновременным нажатием трех кнопок. Сколько комбинаций у него есть?

Так как три кнопки нажимаются одновременно, порядок нажатия не имеет значения. Нужно выбрать 3 кнопки из 10.

Используем формулу сочетаний:

Ответ: у замка 120 возможных комбинаций.

2) Делится ли $12!$ на 280?

Разложим 280 на простые множители:

Теперь рассмотрим:

В нем есть множители:

• двоек больше четырех (например, $2,4,6,8,10,12$);

• есть множитель 5;

• есть множитель 7.

Значит, в разложении $12!$ присутствуют все множители, необходимые для деления на $280=2^4\cdot 5\cdot 7$.

Следовательно:

делится без остатка.

Ответ: да, $12!$ делится на 280.

3) Через станцию должны пройти одновременно 3 поезда. Имеются 5 свободных путей. Сколькими способами диспетчер может организовать прохождение поездов?

Нужно распределить 3 разных поезда по 5 разным путям.

Для первого поезда есть 5 вариантов пути.

Для второго остается 4 свободных пути.

Для третьего остается 3 свободных пути.

Получаем:

Ответ: диспетчер может организовать прохождение поездов 60 способами.