Найдите область определения функции f(x) = √(x² - 2x - 8).

Найдём область определения функции:

Шаг 1. Определим условие существования функции.

Поскольку функция содержит квадратный корень, выражение под корнем должно быть больше или равно нулю.

Следовательно:

Шаг 2. Разложим квадратный трёхчлен на множители.

Найдём два числа, произведение которых равно $-8$, а сумма равна $-2$. Это числа $-4$ и $2$.

Тогда:

Получаем неравенство:

Шаг 3. Решим неравенство методом интервалов.

Найдём нули множителей:

Эти точки разделяют числовую прямую на три промежутка:

• При $x<-2$ оба множителя отрицательны, поэтому их произведение положительно.

• При $-2$ один множитель отрицателен, а другой положителен, поэтому произведение отрицательно.

• При $x>4$ оба множителя положительны, поэтому их произведение положительно.

Нам нужны промежутки, на которых произведение неотрицательно. Точки $x=-2$ и $x=4$ также включаются, поскольку в них подкоренное выражение равно нулю, а квадратный корень из нуля существует.

Следовательно:

Шаг 4. Запишем область определения.

Область определения функции — это объединение двух промежутков:

Ответ: функция $f(x)=\sqrt{x^2-2x-8}$ определена при всех $x\leq -2$ и $x\geq 4$.