Отвечу как на сайте с вопросами и ответами, простыми словами и с примерами.

Что такое область определения (ОД)

Это все допустимые значения переменной $x$, при которых формула функции имеет смысл. Иначе: какие $x$ «можно подставлять».

Как находить ОД (частые ограничения):

1. Деление: знаменатель $\neq 0$.

2. Чётный корень: подкоренное $\ge 0$.

3. Логарифм: основание $>0$ и $\ne 1$; аргумент $>0$.

4. Показательная: ограничений по аргументу обычно нет.

5. Тригонометрия: $\tan x$ и $\cot x$ не определены, где $\cos x=0$ или $\sin x=0$ соответственно.

6. Составная/дробно-рациональная/кусочная: выполняем все условия сразу в каждой части.

7. Текстовые/геометрические смыслы: например, длина $\ge 0$, вероятность $[0,1]$ и т. п.

Что такое область значения (ОЗ)

Это все возможные значения $y=f(x)$, которые функция реально принимает при допустимых $x$.

Как находить ОЗ (рабочие приёмы):

1. Решить уравнение $y=f(x)$ относительно $x$ и выяснить, при каких $y$ есть решения.

2. Исследовать $f$ на промежутке ОД: найти экстремумы, пределы на границах, поведение «на бесконечности».

3. Преобразования графика: сдвиги/растяжения меняют ОЗ предсказуемо.

4. Обратная функция: если $f$ взаимно однозначна на ОД, то $\mathrm{ОЗ}(f)=\mathrm{ОД}(f^{-1})$.

5. Оценки/неравенства: «добавить и вычесть», «квадрат $\ge 0$», неравенство Коши и т. п.

Быстрые примеры

1) $f(x)=\dfrac{\sqrt{2x-1}}{x-3}$

ОД.

• Подкоренное $\,2x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge \tfrac12$.

• Знаменатель $\,x-3\ne 0 \Rightarrow x\ne 3$.
  Итого: $[\,\tfrac12,3)\cup(3,+\infty)$.

ОЗ.

• Числитель $\sqrt{2x-1}\ge 0$, значит $f(x)$ может быть $0$ только когда числитель $=0$: это $x=\tfrac12$, допустимо ⇒ $0$ входит в ОЗ.

• При $x\to 3^{-}$: числитель конечен $>0$, знаменатель $\to 0^{-}$ ⇒ $f(x)\to -\infty$.

• При $x\to 3^{+}$: $f(x)\to +\infty$.

• При $x\to +\infty$: $\sqrt{2x-1}\sim\sqrt{2}\,x^{1/2}$, делим на $x$: $f(x)\to 0^{+}$.
  Значит значения покрывают все $(-\infty,0]\cup(0,+\infty)=\mathbb{R}$. То есть ОЗ = вся $\mathbb{R}$.

2) $g(x)=\ln(4-x^2)$

ОД. Для логарифма аргумент $>0$: $4-x^2>0 \Rightarrow -2$.
ОЗ.

• Когда $x\to \pm 2$, аргумент $\to 0^{+}$, $\ln\to -\infty$.

• Максимум при максимуме аргумента $4-x^2$, т. е. при $x=0$: $g(0)=\ln 4$.
  Итого: $(-\infty,\ln 4]$.

3) $h(x)=x^2+6x+10$

ОД. Все $x\in\mathbb{R}$.
ОЗ. Завершаем квадрат: $$