Слон ходит по бесконечной шахматной доске, начав с некоторой клетки, меняя каждый раз направление хода на перпендикулярное. Первый ход слон делает на одну клетку, второй ход — на две клетки, третий ход — на три клетки и так далее.
А) Сможет ли слон через некоторое число ходов оказаться в исходной клетке?
Б) Если да, то какое наименьшее количество ходов для этого понадобится?

А) Да, слон может вернуться в исходную клетку.

Б) Наименьшее количество ходов, за которое он сможет это сделать, — 7.

Докажем это.

1. Почему слон не может вернуться раньше?

Слон ходит по диагоналям шахматной доски. По условию после каждого хода он должен менять направление на перпендикулярное.

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные диагонали, проходящие через исходную клетку.

Поскольку слон каждый раз поворачивает на 90°, получается, что:

• На 1-м, 3-м, 5-м, 7-м и последующих нечётных ходах он движется параллельно первой диагонали.

• На 2-м, 4-м, 6-м и последующих чётных ходах — параллельно второй диагонали.

Чтобы вернуться в исходную клетку, слон должен полностью компенсировать перемещения по обеим диагоналям.

Рассмотрим нечётные ходы.

После первого хода слон удалится от исходной клетки на одну клетку вдоль первой диагонали. Поэтому после одного или двух ходов вернуться он не сможет: второй ход перпендикулярен первому и не компенсирует его.

После третьего хода перемещение вдоль первой диагонали может составить:

С учётом противоположного выбора начального направления возможны также значения $-4$ и $2$. Нулевого перемещения нет.

Следовательно, после трёх или четырёх ходов вернуться невозможно.

После пятого хода суммарное перемещение вдоль первой диагонали будет иметь вид

Сумма трёх нечётных чисел с любыми знаками всегда нечётна, а значит, не может равняться нулю.

Поэтому после пяти или шести ходов слон тоже не сможет вернуться в исходную клетку.

Таким образом, для возвращения необходимо не менее 7 ходов.

2. Покажем, что за 7 ходов вернуться можно

Выберем следующую последовательность ходов:

Проверим перемещения.

Вдоль первой диагонали (северо-восток — юго-запад) слон переместится на

Вдоль второй диагонали (юго-восток — северо-запад) перемещение составит

Получается, что перемещения по обеим диагоналям равны нулю. Следовательно, после седьмого хода слон окажется точно в исходной клетке.

При этом все условия выполнены: длина каждого следующего хода увеличивается на одну клетку, а направления соседних ходов взаимно перпендикулярны.

Ответ

А) Да, слон может вернуться в исходную клетку.

Б) Минимальное количество ходов — 7, поскольку за меньшее число ходов возвращение невозможно, а за семь ходов существует подходящая последовательность направлений.