Маша написала на доске число 111111111. После этого каждый, кто заходил в класс, вычитал из числа на доске сумму его цифр, стирал исходное число и записывал на доске
получившуюся разность. Через час на доске было записано однозначное натуральное
число. Какое?

Для решения задачи важно понять, что при каждом вычитании из числа на доске суммы его цифр, значение этого числа уменьшается в зависимости от свойств числа и его цифр. Мы будем опираться на известное свойство, связанное с "суммой цифр" и остатками от деления числа на 9.

Шаг 1. Свойство остатка при делении на 9

Когда мы вычитаем сумму цифр числа из самого числа, результат сохраняет остаток от деления на 9. То есть после каждой операции новое число будет иметь тот же остаток при делении на 9, что и исходное число. Это свойство возникает потому, что сумма цифр числа $S(n)$ имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число $n$.

Шаг 2. Найдём остаток числа 111111111 при делении на 9

Число $111111111$ состоит из девяти единиц. Найдём сумму его цифр:

Значит, $111111111$ делится на 9 без остатка:

Таким образом, каждое последующее число, которое получается после вычитания суммы цифр, также будет делиться на 9.

Шаг 3. Как число становится однозначным?

Процесс вычитания суммы цифр продолжается, пока число на доске не станет однозначным. Поскольку каждое новое число также делится на 9, конечное однозначное число также должно делиться на 9. Единственное однозначное число, которое делится на 9, — это 9.

Шаг 4. Подтверждение

Процесс всегда завершится числом 9, независимо от промежуточных значений. Если начальное число делится на 9 (как в нашем случае), то каждое последующее число также делится на 9. Постепенно числа становятся всё меньше и меньше, пока не достигают 9, поскольку это единственное подходящее однозначное число.

Ответ

Через час на доске будет записано число 9.