Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений
Y'=AY, в которой Y – матрица-столбец функций, A – матрица коэффициентов

       y₁(x)
Y= ( y₂(x) )
        y₃(x)

A=[tex] \left[\begin{array}{ccc}a11&a12&a13\\a21&a22&a23\\a31&a32&a33\end{array}\right] [/tex]

A=[tex] \left[\begin{array}{ccc}3&-2&3\\0&-3&2\\0&0&2\end{array}\right] [/tex]

Найдем общее решение системы линейных дифференциальных уравнений

где

1. Запишем систему в развернутом виде

Умножая матрицу $A$ на вектор $Y$, получаем:

Так как матрица $A$ имеет постоянные коэффициенты, общее решение можно найти методом собственных значений и собственных векторов.

2. Найдем собственные значения матрицы A

Составим характеристическое уравнение:

где $E$ — единичная матрица.

Получаем:

Поскольку матрица треугольная, ее определитель равен произведению диагональных элементов:

Отсюда получаем три собственных значения:

Все собственные значения различны, поэтому каждому из них соответствует линейно независимый собственный вектор.

3. Найдем собственные векторы

Для первого собственного значения $\lambda_1=3$:

Решаем систему

Получаем: