В каком случае графики линейных функций пересекаются? Как найти координаты точки пересечения? При каком условии графики линейных функций параллельны?

График линейной функции имеет вид прямой. Рассмотрим две линейные функции

где $k$ — угловой коэффициент (наклон прямой), $b$ — свободный член (точка пересечения с осью $Oy$).

В каком случае графики линейных функций пересекаются?

Две прямые пересекаются в одной точке, если они не параллельны, то есть если их наклоны разные:

Интуитивно: разные угловые коэффициенты означают разный наклон, значит прямые не могут идти “рядом” бесконечно — они обязательно встретятся в одной точке.

Как найти координаты точки пересечения?

Точка пересечения — это такая пара $(x, y)$, которая удовлетворяет обеим функциям одновременно. Значит, в точке пересечения значения $y$ равны:

Решаем это уравнение относительно $x$:

1. Переносим члены с $x$ в одну сторону, свободные — в другую:

2. Выносим $x$:

3. Находим абсциссу точки пересечения:

(это можно делать только если $k_1 \ne k_2$, иначе деление на ноль).

Дальше находим $y$, подставив найденный $x$ в любую из функций (в обеих получится одно и то же):

Итак, координаты точки пересечения:

При каком условии графики линейных функций параллельны?

Две прямые параллельны, если их наклоны одинаковые:

Дальше есть два варианта:

1. Параллельные и разные прямые (не пересекаются):

2. Совпадающие прямые (это одна и та же прямая, “пересечений” бесконечно много):

Короткая сводка условий

• Пересекаются в одной точке: $\;k_1 \ne k_2$.

• Параллельны (разные): $\;k_1 = k_2,\; b_1 \ne b_2$.

• Совпадают: $\;k_1 = k_2,\; b_1 = b_2$