Окружность радиуса 6√7 описана около остроугольного треугольника ABC. Через вершину B треугольника и центр окружности проведена прямая, которая пересекает AC в точке D. Из точки D на стороны AB и BC опущены перпендикуляры DK и DN соответственно. Найдите KN, если AD/DC = 5/7, а sin(ABC) = 2/√7.

Обозначим \(BC=a\), \(AB=c\), \(AC=b\). Радиус описанной окружности \(R=6\sqrt7\), а \(\sin B=\frac{2}{\sqrt7}\). Тогда

\[AC=2R\sin B=2\cdot 6\sqrt7\cdot \frac{2}{\sqrt7}=24.\]

Так как \(AD:DC=5:7\), получаем \(AD=10\), \(DC=14\).

Прямая \(BO\) проходит через центр окружности и точку \(D\). Из этого условия для сторон получается \(AB=30\), \(BC=6\sqrt{21}\). Тогда можно взять координаты: \(B(0;0)\), \(A(30;0)\), \(C(18;12\sqrt3)\).

Точка \(D\) делит \(AC\) в отношении \(5:7\), поэтому

\[D(25;5\sqrt3).\]

Перпендикуляр к \(AB\) даёт точку \(K(25;0)\). Проекция точки \(D\) на сторону \(BC\) даёт точку \(N(15;10\sqrt3)\).

Теперь найдём \(KN\):

\[KN=\sqrt{(25-15)^2+(0-10\sqrt3)^2}=\sqrt{100+300}=20.\]

Ответ: \(20\).

0 0 Пожаловаться