Вариант 2 1. Из чисел 405, 972, 865, 2 394 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 5;

2) на 9.

2. Разложите число 1 176 на простые множители.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 27 и 36;

2) 168 и 252.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 11 и 33;

2) 9 и 10;

3) 18 и 12.

5. Докажите, что числа 297 и 304 — взаимно простые.

6. Вместо звёздочки в записи 1 99* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3 (рассмотрите все возможные случаи).

7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзины по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал

фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг?

Рассмотрим каждый пункт по порядку:

1. Из чисел 405, 972, 865, 2394 выпишите те, которые делятся нацело:

1) На 5

Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.

• 405 — оканчивается на 5, делится на 5.
• 972 — не оканчивается на 5 или 0, не делится на 5.
• 865 — оканчивается на 5, делится на 5.
• 2394 — не оканчивается на 5 или 0, не делится на 5.

Ответ: числа, которые делятся на 5: 405, 865.

2) На 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

• 405: 4 + 0 + 5 = 9, делится на 9.
• 972: 9 + 7 + 2 = 18, делится на 9.
• 865: 8 + 6 + 5 = 19, не делится на 9.
• 2394: 2 + 3 + 9 + 4 = 18, делится на 9.

Ответ: числа, которые делятся на 9: 405, 972, 2394.

2. Разложите число 1176 на простые множители

Разделим 1176 на простые числа, начиная с наименьшего:

1. 1176 ÷ 2 = 588
2. 588 ÷ 2 = 294
3. 294 ÷ 2 = 147
4. 147 ÷ 3 = 49
5. 49 ÷ 7 = 7
6. 7 ÷ 7 = 1

Итак, разложение на простые множители: $1176 = 2^3 \times 3 \times 7^2$.

3. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) 27 и 36

Разложим числа на простые множители:

• 27 = 3^3
• 36 = 2^2 \times 3^2

Общие множители: $3^2$.

Наибольший общий делитель: $3^2 = 9$.

2) 168 и 252

Разложим числа на простые множители:

• 168 = 2^3 \times 3 \times 7
• 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7

Общие множители: $2^2 \times 3 \times 7$.

Наибольший общий делитель: $2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 84$.

Ответы: 1) 9; 2) 84.

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 11 и 33

Наименьшее общее кратное двух чисел — это произведение всех уникальных множителей с наибольшими степенями:

• 11 = 11
• 33 = 3 \times 11

Наименьшее общее кратное: $3 \times 11 = 33$.

2) 9 и 10

• 9 = 3^2
• 10 = 2 \times 5

Наименьшее общее кратное: $3^2 \times 2 \times 5 = 90$.

3) 18 и 12

• 18 = 2 \times 3^2
• 12 = 2^2 \times 3

Наименьшее общее кратное: $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

Ответы: 1) 33; 2) 90; 3) 36.

5. Докажите, что числа 297 и 304 — взаимно простые

Числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Разложим числа на простые множители:

• 297 = 3^3 \times 11
• 304 = 2^4 \times 19

Общих множителей нет, значит, НОД(297, 304) = 1, что подтверждает, что эти числа взаимно простые.

6. Вместо звёздочки в записи 199* поставьте цифру так, чтобы полученное число было кратным 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

• 1990: 1 + 9 + 9 + 0 = 19 (не делится на 3)
• 1991: 1 + 9 + 9 + 1 = 20 (не делится на 3)
• 1992: 1 + 9 + 9 + 2 = 21 (делится на 3)
• 1993: 1 + 9 + 9 + 3 = 22 (не делится на 3)
• 1994: 1 + 9 + 9 + 4 = 23 (не делится на 3)
• 1995: 1 + 9 + 9 + 5 = 24 (делится на 3)
• 1996: 1 + 9 + 9 + 6 = 25 (не делится на 3)
• 1997: 1 + 9 + 9 + 7 = 26 (не делится на 3)
• 1998: 1 + 9 + 9 + 8 = 27 (делится на 3)
• 1999: 1 + 9 + 9 + 9 = 28 (не делится на 3)

Ответ: возможные цифры для замены звёздочки — 2, 5, 8.

7. Собранный урожай яблок фермер может разложить поровну в корзины по 12 кг или в ящики по 15 кг. Сколько килограммов яблок собрал фермер, если известно, что их было больше 150 кг, но меньше 200 кг?

Нужно найти число, которое делится на 12 и на 15, и лежит в диапазоне от 151 до 199.

Наименьшее общее кратное 12 и 15 — это 60. Рассмотрим кратные числа 60:

• 60, 120, 180, 240...

Подходит только 180 кг, так как оно больше 150 и меньше 200.

Ответ: 180 кг.