В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы − каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующим графиком: Июль 2016 - S ; Июль 2017 - 0,7S ; Июль 2018 - 0,4S ; Июль 2019 - 0 рублей. Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Для решения задачи нужно учесть, что долг по кредиту увеличивается на 15% каждый январь, а затем производится платеж в феврале-июне. Кроме того, долг в июле каждого года должен соответствовать определённому проценту от начальной суммы. Давайте разберемся шаг за шагом.

Условия задачи:

1. В июле 2016 года сумма кредита составляет $S$ тыс. рублей.
2. В январе каждого года долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года.
3. Платежи производятся с февраля по июнь, и к июлю каждый год долг должен составлять определенную часть от начальной суммы кредита:
   • Июль 2016 года — долг $S$
   • Июль 2017 года — долг $0,7S$
   • Июль 2018 года — долг $0,4S$
   • Июль 2019 года — долг $0$ рублей.

Шаг 1: Определение задолженности по годам

1. Июль 2016: В начале кредита долг равен $S$.

2. Июль 2017: К этому времени долг увеличится на 15% в январе 2017 года, а затем будет уменьшен на выплату в феврале-июне 2017 года.

   • Сумма долга в январе 2017 года: $S \times 1.15$.
   • После выплаты часть долга в июле 2017 года должна составлять $0,7S$. То есть: $$S \times 1.15 - X_1 = 0,7S,$$ где $X_1$ — это сумма платежа в феврале-июне 2017 года. Из этого уравнения: $$S \times 1.15 - 0,7S = X_1 \quad \Rightarrow \quad X_1 = S \times (1.15 - 0.7) = 0,45S.$$ То есть платеж в 2017 году составляет $0,45S$.

3. Июль 2018: В январе 2018 года долг увеличится на 15% по сравнению с июлем 2017 года:

   • Сумма долга в январе 2018 года: $0,7S \times 1.15 = 0,805S$.
   • После выплаты часть долга в июле 2018 года должна составлять $0,4S$. То есть: $$0,805S - X_2 = 0,4S,$$ где $X_2$ — это сумма платежа в феврале-июне 2018 года. Из этого уравнения: $$0,805S - 0,4S = X_2 \quad \Rightarrow \quad X_2 = 0,405S.$$ То есть платеж в 2018 году составляет $0,405S$.

4. Июль 2019: В январе 2019 года долг увеличится на 15% по сравнению с июлем 2018 года:

   • Сумма долга в январе 2019 года: $0,4S \times 1.15 = 0,46S$.
   • После выплаты долг в июле 2019 года должен составить 0, то есть: $$0,46S - X_3 = 0,$$ где $X_3$ — это сумма платежа в феврале-июне 2019 года. Из этого уравнения: $$X_3 = 0,46S.$$ То есть платеж в 2019 году составляет $0,46S$.

Шаг 2: Условие целых чисел

Нам нужно, чтобы каждый из платежей $X_1$, $X_2$ и $X_3$ был целым числом. То есть:

• $X_1 = 0,45S$ должно быть целым числом, а значит, $S$ должно быть кратно 20.
• $X_2 = 0,405S$ должно быть целым числом, а значит, $S$ должно быть кратно 200.
• $X_3 = 0,46S$ должно быть целым числом, а значит, $S$ должно быть кратно 50.

Таким образом, наименьшее значение $S$, которое удовлетворяет всем этим условиям, — это наименьшее общее кратное чисел 20, 200 и 50, которое равно 200.

Ответ:

Наименьшее значение $S$, при котором каждая из выплат будет целым числом, равно 200 тыс. рублей.