Вычислите пределы функций в точке и на бесконечности:
1) lim (x(x+1)(x+2))/(2x^2+5)
x→∞

2) lim (x^2+6x-16)/(3x^2-5x-2)
x→2
3) lim (√(20-x)-x)/(x^2-16)
x→4
4) lim (√(n^4-3n^2+2) - √(3n^4+2n^2-4))
n→∞
5) lim (2/(1+n))^(3n)
n→∞
6) lim (1/(x+2)-(x+14)/(x^3+8))
x→∞

1) Степень числителя больше степени знаменателя, поэтому

\[\lim_{x\to\infty}\frac{x(x+1)(x+2)}{2x^2+5}=+\infty\]

2) Разложим на множители и сократим:

\[\frac{x^2+6x-16}{3x^2-5x-2}=\frac{(x-2)(x+8)}{(x-2)(3x+1)}\]

\[\lim_{x\to2}\frac{x^2+6x-16}{3x^2-5x-2}=\frac{10}{7}\]

3) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

\[\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{20-x}-x}{x^2-16}=-\frac{9}{64}\]

4) При больших \(n\) первое выражение примерно равно \(n^2\), а второе — \(\sqrt{3}n^2\). Поэтому

\[\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^4-3n^2+2}-\sqrt{3n^4+2n^2-4}\right)=-\infty\]

5)

\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{1+n}\right)^{3n}=0\]

6) Оба слагаемых при \(x\to\infty\) стремятся к нулю:

\[\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x+2}-\frac{x+14}{x^3+8}\right)=0\]

0 0 Пожаловаться