Lim n стремится к бесконечности (n² + 5n + 4) / (n + 2) должно дать бесконечность

Да, предел действительно уходит в бесконечность.

Разберём по шагам. Делим многочлены столбиком (или выделяем главный член):

Проверка: $(n+2)(n+3)=n^2+5n+6$, значит

откуда и получается представленная форма.

Теперь видно поведение при $n\to+\infty$:

• слагаемое $n+3$ растёт без границ,

• дробь $\displaystyle -\frac{2}{n+2}\to 0$.

Следовательно,

(Замечание: при $n\to -\infty$ выражение ведёт себя как $n+3$, поэтому предел был бы $-\infty$.)