Июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найти х, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн рублей.
Помогите решить

Для решения задачи необходимо провести математический анализ условий кредита и годовых платежей. Представим алгоритм решения задачи подробно.

Обозначения и данные задачи:

1. Сумма кредита: $S = 6,000,000$ рублей.
2. Срок кредита: 15 лет.
3. Процентная ставка: $x \%$ (ежегодно увеличивает долг в январе).
4. Погашение долга:
   • Каждый июль долг уменьшается на одну и ту же величину.
   • В феврале–июне выплачиваются части долга так, чтобы платежи соответствовали условиям.
5. Наибольший годовой платеж: $P_{\text{макс}} \leq 1,900,000$.
6. Наименьший годовой платеж: $P_{\text{мин}} \geq 500,000$.

Нужно найти $x$, удовлетворяющий этим условиям.

1. Уравнение уменьшения долга

Каждый год долг уменьшается равномерно на одну и ту же величину $d$. То есть:

где $S = 6,000,000$. Тогда:

В начале $n$-го года (до начисления процентов) долг составляет:

После начисления процентов в январе долг становится:

2. Выплаты за год

С февраля по июнь платится часть долга $P_n$, а в июле долг снижается до $D_{n+1}$. Таким образом:

Подставляем выражения для $D_n$ и $D_{n+1}$:

Раскрываем скобки:

Так как $D_n = S - (n-1) \cdot d$, получаем:

3. Условия платежей

Платежи $P_n$ ограничены:

Подставляем формулу $P_n$ в это неравенство:

Для крайних случаев:

• Максимальный платеж ($P_{\text{макс}}$) происходит в первом году ($n=1$):

  $$P_1 = S \cdot \frac{x}{100} + d.$$

  Условие:

  $$S \cdot \frac{x}{100} + d \leq 1,900,000.$$

• Минимальный платеж ($P_{\text{мин}}$) происходит в последнем году ($n=15$):

  $$P_{15} = \left(S - 14 \cdot d\right) \cdot \frac{x}{100} + d.$$

  Условие:

  $$\left(S - 14 \cdot d\right) \cdot \frac{x}{100} + d \geq 500,000.$$