Можно ли за 2 минуты, передавая шифрованный световой сигнал, включить фонарик ровно через минуту после начала передачи сигнала? Сколько времени из всех 2 минут в передаче сигнала работал фонарик Миши?

Для начала давайте разберемся с тем, как работает этот шифрованный сигнал. Андрей и Миша поочередно включают свои фонарики с разной продолжительностью. Давайте распишем, как происходит передача сигнала:

1. Андрей включает свой фонарик на 1 секунду.

2. Миша включает свой фонарик на 2 секунды.

3. Андрей включает свой фонарик на 3 секунды.

4. Миша включает свой фонарик на 4 секунды.

5. И так далее, поочередно увеличивая время включения на 1 секунду каждый раз.

Таким образом, можно заметить, что передача сигнала идет поочередно: сначала всегда работает фонарик Андрея, потом фонарик Миши, и время работы фонарика увеличивается по мере передачи.

Теперь посчитаем, сколько времени фонарик был включен через минуту после начала передачи сигнала.

Шаг 1: Время до одной минуты

Чтобы выяснить, сколько времени прошло до первой минуты, сложим все времена включения фонариков:

• 1 секунда — Андрей

• 2 секунды — Миша

• 3 секунды — Андрей

• 4 секунды — Миша

• 5 секунд — Андрей

• 6 секунд — Миша

• 7 секунд — Андрей

• 8 секунд — Миша

• 9 секунд — Андрей

• 10 секунд — Миша

Теперь находим, сколько времени прошло в сумме:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 секунд.

Таким образом, за первые 55 секунд было включено оба фонарика. Через 55 секунд, до первой минуты, мы можем точно определить, что фонарик Миши был включен 2, 4, 6, 8, 10 секунд, т.е. на 30 секунд.

Шаг 2: Сколько времени работал фонарик Миши за 2 минуты?

Теперь давайте посчитаем, сколько времени из двух минут работал фонарик Миши.

Мы видим, что фонарик Миши работает по четным номерам секунд: 2, 4, 6, 8, 10 и так далее. Так как передача длится 2 минуты (120 секунд), нам нужно посчитать, сколько таких секунд попадает в интервал от 1 до 120.

Сумма всех времён, когда работает фонарик Миши (2, 4, 6, ..., 120), является суммой всех четных чисел от 2 до 120.

Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где первый член $a = 2$, разность $d = 2$, и последний член $l = 120$.

Для нахождения количества членов в этой прогрессии используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

Подставим значения:

Решаем относительно $n$:

Таким образом, фонарик Миши включается 60 раз за 2 минуты. Теперь, чтобы найти общее время работы фонарика Миши, умножим количество включений на время включения фонарика:

Сумма этих чисел — это сумма первых 60 четных чисел, и она может быть найдена по формуле для суммы арифметической прогрессии:

Подставляем значения:

Таким образом, за 2 минуты фонарик Миши был включен на 3660 секунд, или 60 минут.