Решить неравенство: (1-x) (2+x) (черта деления ниже и под чертой) х(в квадрате) - х -2 больше или равно нулю

Давайте разберем это неравенство шаг за шагом.

Неравенство, которое нам нужно решить:

Шаг 1. Разложим знаменатель

Для начала разложим выражение в знаменателе $x^2 - x - 2$. Это квадратное выражение, и его можно разложить по формуле для нахождения корней.

Рассмотрим уравнение:

Мы ищем два числа, произведение которых равно $-2$, а сумма — $-1$. Такими числами являются $-2$ и $1$, потому что:

Таким образом, можно разложить $x^2 - x - 2$ на множители:

Шаг 2. Исследуем числитель

Теперь давайте рассмотрим числитель выражения $(1 - x)(2 + x)$. Он уже разложен в произведение двух множителей, и никаких дальнейших преобразований не требуется.

Шаг 3. Подставляем разложения

Теперь подставим разложенные выражения в исходное неравенство:

Шаг 4. Определяем знаки выражений

Неравенство будет выполняться, когда дробь будет положительной или равной нулю. Для этого нужно исследовать знаки числителя и знаменателя на разных промежутках, которые разделены корнями числителя и знаменателя.

Корни числителя — это значения, при которых $(1 - x)(2 + x) = 0$, то есть $x = 1$ или $x = -2$.

Корни знаменателя — это значения, при которых $(x - 2)(x + 1) = 0$, то есть $x = 2$ или $x = -1$.

Теперь, рассмотрим числовую прямую, разделенную на интервалы: $(-∞, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, 2)$, $(2, ∞)$.

Шаг 5. Исследуем знаки на каждом интервале

1. Интервал $(-∞, -2)$:

   • $1 - x > 0$, $2 + x < 0$ (произведение отрицательное).

   • $x - 2 < 0$, $x + 1 < 0$ (произведение положительное).

   • Дробь $\frac{положительное}{положительное} > 0$, так что на этом интервале выражение положительное.

2. Интервал $(-2, -1)$:

   • $1 - x > 0$, $2 + x > 0$ (произведение положительное).

   • $x - 2 < 0$, $x + 1 < 0$ (произведение положительное).

   • Дробь $\frac{положительное}{положительное} > 0$, так что на этом интервале выражение положительное.

3. Интервал $(-1, 1)$:

   • $1 - x > 0$, $2 + x > 0$ (произведение положительное).

   • $x - 2 < 0$, $x + 1 > 0$ (произведение отрицательное).

   • Дробь $\frac{положительное}{отрицательное} < 0$, так что на этом интервале выражение отрицательное.

4. Интервал $(1, 2)$:

   • $1 - x < 0$, $2 + x > 0$ (произведение отрицательное).

   • $x - 2 < 0$, $x + 1 > 0$ (произведение отрицательное).

   • Дробь $\frac{отрицательное}{отрицательное} > 0$, так что на этом интервале выражение положительное.

5. Интервал $(2, ∞)$:

   • $1 - x < 0$, $2 + x > 0$ (произведение отрицательное).

   • $x - 2 > 0$, $x + 1 > 0$