Как найти площадь, если есть только периметр?

Чтобы найти площадь фигуры, зная только её периметр, нужно иметь дополнительную информацию — одной величины недостаточно. Периметр сам по себе не определяет однозначно площадь, так как множество фигур могут иметь один и тот же периметр, но разные площади. Однако я расскажу, какие есть варианты, если известна форма фигуры или если можно сделать предположения.

1. Если фигура — квадрат

Это самый простой и популярный случай, часто рассматриваемый в задачах "на сообразительность". Поскольку у квадрата все стороны равны, можно вычислить сторону, а потом — площадь:

Формулы:

• Периметр квадрата: $P = 4a$

• Сторона: $a = \frac{P}{4}$

• Площадь: $S = a^2 = \left( \frac{P}{4} \right)^2 = \frac{P^2}{16}$

Пример:
Если $P = 40$, то

• $a = 10$

• $S = 100$

2. Если фигура — прямоугольник (или другая)

Если известно, что это прямоугольник, но нет информации о соотношении сторон, то площадь точно найти нельзя — только выразить через одну из сторон.

Прямоугольник с периметром $P$ может иметь бесконечно много сочетаний длины и ширины при одном и том же периметре. При этом наибольшую площадь из всех прямоугольников с данным периметром имеет квадрат.

3. Если фигура произвольная

Среди всех фигур с данным периметром наибольшую площадь имеет круг. Это уже задача из вариационного исчисления, но вывод можно использовать как оценку.

Формулы:

• Периметр круга: $P = 2\pi r \Rightarrow r = \frac{P}{2\pi}$

• Площадь круга: $S = \pi r^2 = \pi \left( \frac{P}{2\pi} \right)^2 = \frac{P^2}{4\pi}$

Так можно найти максимально возможную площадь при данном периметре.

Пример:
Если $P = 40$,

• $r = \frac{40}{2\pi} \approx 6.37$

• $S \approx 127.32$

Вывод

• Если известна форма фигуры (например, квадрат, круг), то можно найти площадь.

• Если форма не указана, но интересует максимальная возможная площадь — она будет у круга.

• Без знания формы или хотя бы соотношений сторон — найти точную площадь невозможно.

Хочешь уточнить для какой именно фигуры дан периметр?