1. Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 80 см, а сторона АВ больше ВС на 5 см. 2. Найти углы параллелограмма АВСД, если известно, что угол А больше угла В в 4 раза. 3. Найти углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 65º. 4. Найти диагонали прямоугольника АВСД, если , СД=15см. 5. В четырехугольнике АВСД: АВ=СД, Докажите, что АВСД – параллелограмм. 6. В ромбе АВСД угол А равен . Диагонали ромба пересекаются в точке О. Найти углы треугольника АОВ.

1. Найти стороны параллелограмма $ABCD$, если его периметр равен 80 см, а сторона $AB$ больше $BC$ на 5 см.

Пусть $AB = x + 5$, а $BC = x$. Тогда периметр параллелограмма можно записать как:

Подставляем значения сторон:

Упростим выражение:

Таким образом, $BC = 17.5$ см, а $AB = 17.5 + 5 = 22.5$ см. Стороны параллелограмма — 17.5 см и 22.5 см.

2. Найти углы параллелограмма $ABCD$, если известно, что угол $A$ больше угла $B$ в 4 раза.

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма двух смежных углов равна $180^\circ$. Пусть угол $B = x$, тогда угол $A = 4x$. Запишем уравнение для суммы углов $A$ и $B$:

Значит, угол $B = 36^\circ$, а угол $A = 4 \cdot 36 = 144^\circ$. Углы параллелограмма $ABCD$: $A = 144^\circ$, $B = 36^\circ$, $C = 144^\circ$, $D = 36^\circ$.

3. Найти углы равнобедренной трапеции, если один из них равен $65^\circ$.

В равнобедренной трапеции сумма смежных углов, прилегающих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Если один из углов равен $65^\circ$, то смежный с ним угол будет равен:

Поскольку трапеция равнобедренная, противоположные углы равны. Таким образом, углы трапеции: два угла по $65^\circ$ и два угла по $115^\circ$.

4. Найти диагонали прямоугольника $ABCD$, если $CD = 15$ см.

В прямоугольнике диагонали равны и их длину можно найти по теореме Пифагора. Пусть $AB = CD = 15$ см, а $AD = a$. Тогда диагональ $AC$ можно выразить как:

Чтобы найти точное значение, нужно знать длину второй стороны прямоугольника. Если эта информация доступна, диагональ легко вычислить. Если нет, точное значение диагонали указать невозможно.

5. В четырехугольнике $ABCD$: $AB = CD$. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.

Для доказательства используем свойство параллелограмма: если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то это параллелограмм. Здесь даны равные противоположные стороны $AB = CD$ и $AD = BC$. Следовательно, по определению, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

6. В ромбе $ABCD$ угол $A$ равен $60^\circ$. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$. Найти углы треугольника $AOB$.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы пополам. Поскольку угол $A = 60^\circ$, то угол $AOB$ — половина этого угла:

Так как $\angle AOB = 90^\circ$ (диагонали пересекаются под прямым углом), то углы $AOB$ в треугольнике $AOB$: $30^\circ$, $90^\circ$, и $60^\circ$.