Представить многочлен х^4+х^2+1 в виде произведения

Многочлен $x^4 + x^2 + 1$ можно представить в виде произведения двух множителей. Для этого заметим, что он имеет вид выражения, схожего с формой многочлена третьей степени, если рассматривать его как квадрат некоторого выражения.

Давайте рассмотрим $x^4 + x^2 + 1$. Можно заметить, что этот многочлен напоминает структуру многочлена, который можно разложить по формуле для суммы квадратов. В данном случае мы можем выполнить замену переменной, подставив $y = x^2$. Получим:

Теперь рассмотрим многочлен $y^2 + y + 1$. Это известный квадратный многочлен, который не имеет действительных корней, но его можно разложить на множители в комплексной форме:

где $\omega = e^{2\pi i / 3}$ — это корень из единицы (т.е. комплексное число, равное $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$).

Заменяя $y = x^2$, получаем:

Таким образом, многочлен $x^4 + x^2 + 1$ можно представить в виде произведения двух множителей:

Это разложение работает в комплексной области. В действительных числах этот многочлен не раскладывается на произведение множителей.