F(a;b)=a2b(a3b–b2a2)+4a3·(–1)b2a2–2aba4b+7ab0a4b2 –3a3bab2 А) Приведите данный многочлен к стандартному виду.

Б) Установите, является ли данный многочлен
однородным.

В) Если данный многочлен является однородным,
определите его степень.

Решение

А) Приведем данный многочлен к стандартному виду.

Для начала раскроем и упростим все члены выражения, чтобы записать многочлен в стандартном виде. Стандартный вид предполагает запись многочлена в виде суммы произведений коэффициентов и одночленов.

Дано: $F(a; b) = a^2b(a^3b - b^2a^2) + 4a^3 \cdot (-1) b^2a^2 - 2ab a^4b + 7ab^0 a^4b^2 - 3a^3b ab^2$

Рассмотрим каждый член отдельно и упростим их:

1. Раскроем скобки в первом слагаемом: $a^2b(a^3b - b^2a^2) = a^2b \cdot a^3b - a^2b \cdot b^2a^2$ Умножаем: $a^5b^2 - a^4b^3$

2. Упростим второе слагаемое: $4a^3 \cdot (-1) b^2a^2 = -4a^5b^2$

3. Третье слагаемое: $-2ab \cdot a^4b = -2a^5b^2$

4. Упростим четвёртое слагаемое: $7ab^0 \cdot a^4b^2 = 7a^5b^2$ Заметим, что $b^0 = 1$, поэтому этот множитель исчезает.

5. Последнее слагаемое: $-3a^3b \cdot ab^2 = -3a^4b^3$

Теперь объединим все упрощённые выражения:

Сгруппируем одночлены с одинаковыми степенями:

Упростим коэффициенты:

Таким образом, стандартный вид многочлена:

Б) Установим, является ли данный многочлен однородным.

Многочлен называется однородным, если все его одночлены имеют одинаковую суммарную степень по всем переменным.

Рассмотрим каждый одночлен многочлена $F(a; b)$:

1. $2a^5b^2$: суммарная степень $5 + 2 = 7$.
2. $-4a^4b^3$: суммарная степень $4 + 3 = 7$.

Так как оба одночлена имеют одинаковую суммарную степень (7), многочлен является однородным.

В) Определим степень многочлена, если он однороден.

Степень однородного многочлена определяется по степени его одночленов, которая одинакова у всех слагаемых.

Так как оба одночлена $2a^5b^2$ и $-4a^4b^3$ имеют степень 7, то степень данного однородного многочлена равна 7.

Ответ:

А) Стандартный вид многочлена: $F(a; b) = 2a^5b^2 - 4a^4b^3$.

Б) Многочлен является однородным.

В) Степень однородного многочлена: 7.