Число 12 представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так,чтобы произведение куба одного из них на удвоенное дркгое было наибольшим

Для того чтобы представить число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых $x$ и $y$, где $x + y = 12$, и при этом максимизировать произведение куба одного из этих чисел на удвоенное другое, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Обозначим два слагаемых:

Предположим, что нам нужно представить число 12 в виде суммы двух чисел $x$ и $y$, где: $x + y = 12.$

Наша цель — максимизировать выражение: $P = x^3 \cdot 2y,$ где $x$ и $y$ — неотрицательные числа, и $x + y = 12$.

2. Подставим $y = 12 - x$:

Так как $x + y = 12$, мы можем выразить $y$ через $x$: $y = 12 - x.$ Теперь подставим это в выражение для произведения: $P = x^3 \cdot 2(12 - x).$ Упростим: $P = 2x^3(12 - x) = 24x^3 - 2x^4.$

3. Найдем производную и найдем максимальное значение:

Для нахождения экстремума функции $P(x) = 24x^3 - 2x^4$ найдем её производную по $x$: $P'(x) = 72x^2 - 8x^3.$ Приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки: $72x^2 - 8x^3 = 0,$ $8x^2(9 - x) = 0.$

Это уравнение имеет два решения:

1. $x = 0$
2. $x = 9$

4. Проверим вторую производную:

Чтобы убедиться, что $x = 9$ — это точка максимума, проверим вторую производную: $P''(x) = 144x - 24x^2.$ Подставим $x = 9$: $P''(9) = 144(9) - 24(9)^2 = 1296 - 1944 = -648.$ Поскольку $P''(9) < 0$, точка $x = 9$ является точкой максимума.

5. Найдем значение $y$:

Если $x = 9$, то $y = 12 - 9 = 3$.

6. Проверим значение функции в этой точке:

Подставим $x = 9$ и $y = 3$ в выражение для $P$: $P = 9^3 \cdot 2 \cdot 3 = 729 \cdot 6 = 4374.$

7. Ответ:

Число 12 можно представить в виде суммы двух чисел $x = 9$ и $y = 3$, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное другое было наибольшим. Максимальное значение произведения равно 4374.