Что такое корень в математике?

В математике корень — это число, которое при возведении в степень даёт заданное число. Чаще всего под корнем понимают квадратный корень, но вообще существует множество видов корней: квадратный, кубический, корень четвёртой степени и так далее.

Квадратный корень

Квадратный корень из числа $a$ — это такое число $x$, что $x^2 = a$.
Например:

• $\sqrt{9} = 3$, потому что $3^2 = 9$

• $\sqrt{16} = 4$, потому что $4^2 = 16$

Если число отрицательное, то его квадратный корень в области действительных чисел не определён, потому что квадрат любого действительного числа — положительный. Например, $\sqrt{-4}$ в обычной арифметике не существует. Но в комплексных числах такие корни существуют: $\sqrt{-4} = 2i$, где $i$ — мнимая единица.

Кубический корень

Кубический корень из числа $a$ — это такое число $x$, что $x^3 = a$. В отличие от квадратного корня, кубический корень можно найти и из отрицательных чисел. Например:

• $\sqrt[3]{8} = 2$, потому что $2^3 = 8$

• $\sqrt[3]{-27} = -3$, потому что $(-3)^3 = -27$

Общий случай

Корень n-й степени из числа $a$, обозначается как $\sqrt[n]{a}$, и означает число $x$, такое что $x^n = a$.

Свойства корней:

1. $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

2. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (если $b \ne 0$)

3. $(\sqrt{a})^2 = a$, если $a \ge 0$

Таким образом, корень — это обратное действие возведению в степень. Он играет важную роль в алгебре, геометрии, анализе и многих других разделах математики.