В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике - 12; по истории - 23. По русскому и математике - 4; по математике и истории - 9; по русскому языку и истории - 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?

Для решения этой задачи воспользуемся методом включений-исключений.

1. Обозначим количество учеников, получивших пятерки по каждому предмету:

   • По русскому языку: $R = 14$
   • По математике: $M = 12$
   • По истории: $H = 23$

2. Далее, учитываем пересечения:

   • По русскому и математике: $R \cap M = 4$
   • По математике и истории: $M \cap H = 9$
   • По русскому и истории: $R \cap H = 5$

3. Нам нужно найти количество учеников, которые получили пятерки по всем трем предметам. Обозначим это количество через $x$ (это то, что мы ищем).

4. Применим формулу для нахождения общего количества учеников с пятерками хотя бы по одному предмету, используя принцип включений-исключений:

   $$|R \cup M \cup H| = |R| + |M| + |H| - |R \cap M| - |M \cap H| - |R \cap H| + |R \cap M \cap H|$$

   В этой формуле $|R \cup M \cup H| = 35$ (так как в классе 35 учеников и у всех хотя бы по одному предмету пятерка), а $|R \cap M \cap H| = x$.

   Подставляем известные значения в формулу:

   $$35 = 14 + 12 + 23 - 4 - 9 - 5 + x$$

5. Упрощаем уравнение:

   $$35 = 49 - 18 + x$$ $$35 = 31 + x$$

6. Вычисляем $x$:

   $$x = 35 - 31 = 4$$

Таким образом, 4 ученика получили пятерки по всем трем предметам.