В каждой вершине квадрата находятся положительные заряды Q = 10^-7 Кл каждый.Какой отрицательный заряд следует поместить в центре квадрата, чтобы система находилась в равновесии?

Для решения этой задачи необходимо учитывать условия равновесия системы зарядов. Равновесие в данном случае означает, что результирующая сила, действующая на каждый из зарядов, должна быть равна нулю. Поскольку в вершинах квадрата находятся положительные заряды, а в центре нужно разместить отрицательный заряд, следует определить его величину, чтобы компенсировать силы отталкивания между положительными зарядами.

Дано:

• Заряды $Q = 10^{-7}$ Кл расположены в вершинах квадрата.
• Требуется найти величину отрицательного заряда $q$, который помещен в центр квадрата.

Шаги решения:

1. Определение геометрии задачи: Пусть длина стороны квадрата равна $a$. Центр квадрата равноудалён от всех его вершин, поэтому расстояние от центра до любой вершины будет равно половине диагонали квадрата:

   $$r = \frac{a \sqrt{2}}{2}$$

2. Рассмотрение сил взаимодействия: Все положительные заряды $Q$ отталкиваются друг от друга, создавая электрические силы, направленные от центра квадрата наружу. Для компенсации этих сил в центре квадрата необходимо разместить отрицательный заряд $q$, который будет притягивать положительные заряды к центру.

3. Сила притяжения к отрицательному заряду $q$: Сила, действующая на каждый положительный заряд $Q$ со стороны $q$, рассчитывается по закону Кулона:

   $$F_q = k \frac{|q| \cdot Q}{r^2}$$

   где $k$ — электрическая постоянная, $k \approx 9 \times 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2$.

4. Равнодействующая сила от отталкивания положительных зарядов: Рассмотрим отталкивание одного положительного заряда $Q$ от трёх других зарядов в вершинах квадрата. Сумма всех сил, действующих на один заряд со стороны других трёх, направлена по диагонали квадрата, к его центру.

   Каждая пара зарядов взаимодействует с силой:

   $$F_{Q} = k \frac{Q^2}{a^2}$$

   Однако для упрощения расчетов можно учесть, что сумма всех сил отталкивания от трёх зарядов приведёт к результирующей силе, направленной в центр квадрата.

5. Равновесие системы: Для равновесия необходимо, чтобы сила притяжения $F_q$ со стороны отрицательного заряда уравновешивала силу отталкивания от трёх остальных положительных зарядов:

   $$4 \cdot k \frac{q \cdot Q}{r^2} = 4 \cdot k \frac{Q^2}{a^2}$$

   Здесь множитель 4 появляется из-за того, что на каждый заряд $Q$ в вершине действует сила отталкивания от трёх других зарядов и притяжение к $q$.

6. Упрощение уравнения: Учитывая, что $r = \frac{a \sqrt{2}}{2}$, подставим это в уравнение:

   $$\frac{q \cdot Q}{\left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{Q^2}{a^2}$$ $$\frac{q \cdot Q}{\frac{a^2}{2}} = \frac{Q^2}{a^2}$$

   Умножим обе части на $\frac{a^2}{Q}$:

   $$q = -\frac{Q}{2}$$

   Здесь отрицательный знак означает, что заряд $q$ противоположен по знаку зарядов $Q$, что логично, так как он должен притягивать положительные заряды к центру.

7. Подстановка численных значений: Подставим значение $Q = 10^{-7}$ Кл:

   $$q = -\frac{10^{-7}}{2} = -5 \times 10^{-8} \, \text{Кл}$$

Ответ: Чтобы система из четырёх положительных зарядов $Q$ в вершинах квадрата находилась в равновесии, в центр квадрата следует поместить отрицательный заряд $q = -5 \times 10^{-8}$ Кл.