Почему сила тока на различных участках рассмотренной цепи одинакова?

Потому что в этой цепи элементы соединены последовательно и ветвлений нет. Из закона сохранения заряда (правило Кирхгофа для токов) следует: в любом узле сумма входящих токов равна сумме выходящих. Если путь один, то «войти» и «выйти» может только один и тот же ток — на каждом участке он одинаков.

Интуитивно: представьте поток электронов как поток воды в шланге. Если шланг нигде не разветвляется, то через любое сечение за единицу времени проходит одно и то же количество воды. Иначе вода где-то начала бы скапливаться. В проводнике «скапливание зарядов» у границ участков немедленно изменило бы локальные потенциалы и электрическое поле так, чтобы выровнять ток — поэтому в установившемся режиме ток по всей последовательной цепи одинаков.

Важно не путать ток с напряжением: сопротивления (или реактивные элементы) распределяют падения напряжения по-разному, поэтому $U_1$, $U_2$, … обычно различны, но ток один и тот же:

То же справедливо и для переменного тока в последовательной цепи $R$, $L$, $C$: мгновенное значение тока одно и то же во всех элементах, просто напряжения на них могут отличаться по фазе и по величине. Исключение — параллельные ветви: там ток делится между ветвями, но в каждой отдельной ветви он одинаков по всей её длине.