Стержень, на котором висит люстра; ножка стола; ключ, открывающий замок; сиденье стула; деталь, обрабатываемая напильником; ввинчиваемый шуруп; забиваемый гвоздь; передвигаемое по полу кресло.

Это набор словосочетаний, в которых удобно определить падеж существительного, зависящего от другого слова (от глагола/причастия или от существительного, либо управляемого предлогом). Разберём по порядку — с вопросом, падежом и коротким пояснением.

1. «Стержень, на котором висит люстра»

• Главное по смыслу: висит

• Вопрос: висит кто/что? — люстра

• Падеж: именительный

• Почему: люстра — “то, что висит”, то есть подлежащее в этой части.

2. «Ножка стола»

• Вопрос: ножка чего? — стола

• Падеж: родительный

• Почему: родительный отвечает на вопрос “чего?” при принадлежности/уточнении (ножка какого предмета).

3. «Ключ, открывающий замок»

• Вопрос: открывающий кого/что? — замок

• Падеж: винительный

• Почему: замок — объект действия “открывает”.

4. «Сиденье стула»

• Вопрос: сиденье чего? — стула

• Падеж: родительный

• Почему: как и в “ножка стола”, это уточнение принадлежности.

5. «Деталь, обрабатываемая напильником»

• Вопрос: обрабатываемая чем? — напильником

• Падеж: творительный

• Почему: творительный показывает орудие/средство действия (“чем обрабатывают”).

6. «Ввинчиваемый шуруп»

• Вопрос: ввинчиваемый кого/что? — шуруп

• Падеж: винительный

• Почему: шуруп — то, что “ввинчивают”, объект действия.

7. «Забиваемый гвоздь»

• Вопрос: забиваемый кого/что? — гвоздь

• Падеж: винительный

• Почему: гвоздь — объект действия “забивают”.

8. «Передвигаемое по полу кресло»

• Вопрос: по чему? — по полу

• Падеж: дательный (с предлогом по)

• Почему: конструкция “по чему?” при движении по поверхности даёт дательный: по полу, по дороге, по земле.

Итого по падежам (в том порядке, как в вопросе):
именительный; родительный; винительный; родительный; творительный; винительный; винительный; дательный.