С какой скоростью приземлится парашютист массой m, прыгнувший без начальной вертикальной скорости с высоты H. Сила сопротивления воздуха R.

Чтобы найти скорость приземления парашютиста массой $m$, прыгнувшего с высоты $H$ без начальной вертикальной скорости, при действии силы сопротивления воздуха $R$, нужно рассмотреть динамику движения с сопротивлением. Я объясню подробно шаг за шагом.

1. Запишем уравнение движения

Пусть вниз направим ось $y$. На парашютиста действуют две силы: сила тяжести $mg$ и сила сопротивления воздуха $R(v)$, направленная против скорости. Тогда:

Где:

• $v(t)$ — вертикальная скорость вниз, функция времени.

• $R(v)$ — сила сопротивления воздуха, которая зависит от скорости.

Чаще всего сила сопротивления принимается одной из двух форм:

1. Линейная зависимость: $R(v) = k v$ (малые скорости, вязкая среда).

2. Квадратичная зависимость: $R(v) = c v^2$ (большие скорости, обычный воздух).

Я покажу оба случая.

2. Линейное сопротивление воздуха ($R = k v$)

Уравнение становится:

Перепишем:

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решение имеет вид:

• $\frac{mg}{k}$ — это терминальная скорость $v_\text{term}$.

3. Связь с высотой

Для нахождения скорости при достижении земли нужно выразить время $t$ через высоту $H$. Так как $v = dy/dt$, получаем:

Интегрируя по времени от 0 до $t$:

Здесь $y(t) = 0$ соответствует приземлению. Это уравнение можно решить численно для $t$, а затем подставить в $v(t)$ для скорости при приземлении.

Если высота очень большая ($H \to \infty$), то парашютист достигает терминальной скорости:

4. Квадратичное сопротивление воздуха ($R = c v^2$)

Для больших скоростей сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. Тогда уравнение:

Это уравнение разделяемых переменных:

Решение:

• Здесь $\sqrt{\frac{mg}{c}}$ — терминальная скорость.

Высота через интеграл: