Рельс поднимают на двух параллельных тросах. Найдите отношение сил натяжений тросов (Т2/Т1), если первый укреплён на конце рельса, а второй на расстоянии l/4 от другого конца.

Задача заключается в нахождении отношения сил натяжений двух тросов, которые поднимают рельс, при этом один трос крепится на конце рельса, а второй — на расстоянии $l/4$ от другого конца рельса.

1. Моделируем систему

Рельс, который нужно поднять, можно рассматривать как однородный стержень длиной $l$, масса которого равна $m$, и его вес можно обозначить как $mg$, где $g$ — ускорение свободного падения.

Тросы действуют на рельс с силой натяжения $T_1$ и $T_2$, причем $T_1$ — сила натяжения первого троса, который прикреплен к одному концу рельса, а $T_2$ — сила натяжения второго троса, который прикреплен на расстоянии $l/4$ от другого конца.

2. Рассмотрим равновесие рельса

Рельс находится в равновесии, и для его подъема важны два условия:

1. Условие равновесия по вертикали: Силы, действующие вертикально, должны уравновешивать вес рельса. То есть сумма вертикальных компонент сил натяжения тросов должна быть равна весу рельса:

   $$T_1 + T_2 = mg$$

2. Условие равновесия по моменту: Чтобы рельс не вращался, момент сил относительно произвольной точки должен быть равен нулю. Возьмем момент относительно точки, где крепится второй трос (на расстоянии $l/4$ от другого конца рельса).

   Момент силы $T_1$ относительно этой точки будет равен:

   $$M_1 = T_1 \cdot l$$

   Момент силы $T_2$ относительно этой точки равен нулю, так как точка приложения этой силы совпадает с точкой взятия момента.

   Момент силы тяжести относительно этой точки:

   $$M_{\text{вес}} = mg \cdot \frac{l}{4}$$

   Для равновесия моментов:

   $$T_1 \cdot l = mg \cdot \frac{l}{4}$$

   Отсюда:

   $$T_1 = \frac{mg}{4}$$

3. Используем уравнение равновесия по вертикали

Из уравнения для равновесия по вертикали $T_1 + T_2 = mg$, подставим $T_1 = \frac{mg}{4}$:

Решаем относительно $T_2$:

4. Найдем отношение сил натяжения тросов

Теперь, зная значения сил натяжения, можем найти отношение $\frac{T_2}{T_1}$:

Ответ

Отношение сил натяжений тросов $\frac{T_2}{T_1} = 3$.