Маленький шарик массой m = 0,1 кг подвешен на длинной нерастяжимой нити и может совершать движение в вертикальной плоскости. Шарик отклонили от положения равновесия на малый угол и отпустили, после чего он начал совершать колебания с периодом T = 1,42 с и амплитудой A = 4 см. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с².
1. Чему равна длина нити?
2. В каком случае шарик быстрее вернётся к положению равновесия: если его отклонить на малый угол и отпустить или поднять его по вертикали до точки подвеса и опустить?

Для малых колебаний шарик на нити можно рассматривать как математический маятник. Его период равен

где $l$ — длина нити.

Отсюда

Подставим данные:

Так как

получаем:

Тогда

Ответ на первый вопрос:

То есть длина нити примерно 50 см.

Теперь сравним два случая.

Если шарик отклонить на малый угол и отпустить, то он вернётся в положение равновесия через четверть периода, потому что за полный период он проходит путь: крайнее положение → равновесие → другое крайнее положение → равновесие → исходное крайнее положение.

Значит,

Если же шарик поднять по вертикали до точки подвеса и отпустить, то он будет падать вниз на расстояние, равное длине нити:

В этом случае движение можно считать свободным падением из состояния покоя:

Отсюда

Подставим:

Сравним:

Получается, что при падении сверху шарик достигнет положения равновесия немного быстрее.

Ответ на второй вопрос:

Это происходит потому, что в случае малых колебаний движение является колебательным, и до положения равновесия шарик идёт четверть периода. А при падении с высоты, равной длине нити, он движется как свободно падающее тело и проходит этот путь за меньшее время.