Из уравнения состояния газа получите математические выражения для законов Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля.

Для данной массы идеального газа уравнение состояния имеет вид:

где $p$ — давление газа, $V$ — его объём, $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура в кельвинах.

При рассмотрении каждого газового закона количество газа $\nu$ постоянно, следовательно, постоянна и величина $\nu R$.

Закон Бойля — Мариотта

Рассмотрим изотермический процесс, то есть процесс при постоянной температуре:

Тогда из уравнения состояния

правая часть постоянна, поскольку $\nu$, $R$ и $T$ не изменяются. Поэтому:

Для двух состояний одной и той же массы газа:

Следовательно, при постоянной температуре давление газа обратно пропорционально его объёму:

Это и есть закон Бойля — Мариотта.

Закон Гей-Люссака

Рассмотрим изобарический процесс, то есть процесс при постоянном давлении:

Запишем уравнение состояния в виде:

Так как при данном процессе $\nu$, $R$ и $p$ постоянны, коэффициент $\frac{\nu R}{p}$ также постоянен. Следовательно:

Для двух состояний газа:

Следовательно, при постоянном давлении объём газа прямо пропорционален его абсолютной температуре:

Это закон Гей-Люссака.

Закон Шарля

Рассмотрим изохорический процесс, то есть процесс при постоянном объёме:

Из уравнения состояния выразим давление:

При постоянных $\nu$, $R$ и $V$ величина $\frac{\nu R}{V}$ не меняется. Поэтому:

Для двух состояний газа:

Следовательно, при постоянном объёме давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:

Это закон Шарля.

Во всех трёх законах температура должна измеряться в абсолютной шкале, то есть в кельвинах.