6. В калориметре смешиваются три химически не взаимодействующие жидкости массами m1 = 1 кг, m2 = 10 кг, m3 = 5 кг, имеющие соответственно температуры t1 = 6°C, t2 = -40°C, t3 = 60°C. Удельные теплоёмкости жидкостей равны соответственно 2 кДж/(кг·°C), 4 кДж/(кг·°C), 2 кДж/(кг·°C). Определите температуру смеси.

Дано:

Массы трёх жидкостей:

• $m_1 = 1$ кг

• $m_2 = 10$ кг

• $m_3 = 5$ кг

Начальные температуры:

• $t_1 = 6^\circ C$

• $t_2 = -40^\circ C$

• $t_3 = 60^\circ C$

Удельные теплоёмкости:

• $c_1 = 2$ кДж/(кг·°C)

• $c_2 = 4$ кДж/(кг·°C)

• $c_3 = 2$ кДж/(кг·°C)

Найти: конечную температуру смеси $t$.

Решение

Поскольку жидкости химически не взаимодействуют, при смешивании происходит теплообмен между ними. Более нагретые жидкости отдают тепло, а более холодные получают его до установления общей температуры.

Предположим, что калориметр теплоизолирован, его собственная теплоёмкость пренебрежимо мала, а фазовых переходов не происходит.

По закону сохранения энергии суммарное количество теплоты, отданное и полученное жидкостями, равно нулю:

Количество теплоты для каждой жидкости определяется формулой:

где $t$ — конечная температура смеси, $t_0$ — начальная температура жидкости.

Тогда уравнение теплового баланса имеет вид:

Подставим известные значения:

Раскроем скобки:

Приведём подобные слагаемые:

Отсюда:

Проверка

Проверим выполнение теплового баланса.

Первая жидкость охлаждается с $6^\circ C$ до $-19^\circ C$:

Вторая жидкость нагревается с $-40^\circ C$ до $-19^\circ C$:

Третья жидкость охлаждается с $60^\circ C$ до $-19^\circ C$:

Проверим сумму: