Как бы изменилась первая космическая скорость если бы радиус планеты увеличился в 9 раз?

Чтобы понять, как изменится первая космическая скорость при увеличении радиуса планеты в 9 раз, сначала вспомним, что первая космическая скорость — это минимальная скорость, которую нужно достичь, чтобы спутник мог двигаться по круговой орбите на поверхности планеты. Она рассчитывается по формуле:

$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где:

• $v$ — первая космическая скорость,
• $G$ — гравитационная постоянная,
• $M$ — масса планеты,
• $R$ — радиус планеты.

Если радиус планеты увеличивается в 9 раз, то можно записать это как $R' = 9R$. Однако, для определения изменения первой космической скорости необходимо также учесть, как изменится масса планеты.

Допустим, что планета является однородной сферой. В этом случае масса планеты $M$ может быть связана с ее радиусом и плотностью $\rho$ следующим образом:

$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$

Когда радиус увеличивается в 9 раз, новый радиус $R' = 9R$ изменяет массу планеты следующим образом:

$M' = \frac{4}{3} \pi (R')^3 \rho = \frac{4}{3} \pi (9R)^3 \rho = \frac{4}{3} \pi \cdot 729R^3 \rho = 729M$

Таким образом, при увеличении радиуса планеты в 9 раз, ее масса увеличится в 729 раз.

Теперь можем подставить новые значения радиуса и массы в формулу для первой космической скорости:

$v' = \sqrt{\frac{GM'}{R'}}$

Подставляем $M'$ и $R'$:

$v' = \sqrt{\frac{G \cdot 729M}{9R}} = \sqrt{\frac{729GM}{9R}} = \sqrt{81 \cdot \frac{GM}{R}} = 9 \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Из этого видно, что новая первая космическая скорость $v'$ будет в 9 раз больше старой:

$v' = 9v$

Таким образом, если радиус планеты увеличивается в 9 раз, первая космическая скорость возрастает в 9 раз.