Горизонтальный диск вращается без трения по инерции с угловой скоростью ω₀ относительно вертикальной оси, проходящей через его центр. Жук (материальная точка), находившийся в центре диска, начинает двигаться по радиусу с постоянной скоростью v относительно диска. На какой угол повернётся диск через t с после начала движения жука, если массы жука и диска одинаковы?

Решим задачу, используя закон сохранения момента импульса относительно вертикальной оси, проходящей через центр диска.

Дано:

• Начальная угловая скорость диска — $\omega_0$.

• Скорость движения жука относительно диска — $v$.

• Масса диска — $M$.

• Масса жука — $m=M$.

• Время движения — $t$.

• Трением пренебрегаем.

Найти: угол поворота диска за время $t$.

1. Закон сохранения момента импульса

Поскольку внешние моменты сил относительно вертикальной оси отсутствуют, момент импульса системы «диск — жук» сохраняется.

Изначально жук находится в центре диска, поэтому его момент инерции относительно оси вращения равен нулю. Следовательно,

где $I_0$ — момент инерции диска.

Когда жук начинает двигаться по радиусу, его расстояние от центра диска через время $t$ составляет

Момент инерции системы становится равным

По закону сохранения момента импульса:

откуда текущая угловая скорость диска:

2. Учитываем, что массы диска и жука одинаковы

Для однородного диска момент инерции равен

где $R$ — радиус диска.

Так как $m=M$, получаем:

Сокращаем массу:

3. Находим угол поворота диска

Угол поворота определяется интегрированием угловой скорости по времени:

Подставляем выражение для угловой скорости:

Используем стандартный интеграл:

В результате получаем:

Ответ