Горизонтальный диск массы M и радиуса R может свободно вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через его центр O. На диске нарисована окружность вдвое меньшего радиуса, проходящая через центр диска. Человек массы m проходит по нарисованной окружности, выходя из точки O и возвращаясь в эту же точку. На какой угол повернётся диск к моменту завершения обхода?

Ответ: к моменту возвращения человека в точку $O$ диск повернётся на угол

Причём диск повернётся в сторону, противоположную направлению движения человека по нарисованной окружности.

Подробное решение

1. Используем закон сохранения момента импульса.

Поскольку диск может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, а внешний момент сил относительно этой оси равен нулю, суммарный момент импульса системы «диск — человек» сохраняется.

Первоначально система покоится, поэтому её полный момент импульса равен нулю:

Момент инерции однородного диска относительно вертикальной оси, проходящей через его центр:

Человека будем рассматривать как материальную точку массы $m$.

2. Зададим положение человека на диске.

Радиус нарисованной окружности равен

Поскольку она проходит через центр диска $O$, расстояние между её центром $C$ и точкой $O$ также равно $a$.

Выберем систему координат, связанную с диском, направив ось $Ox$ к центру нарисованной окружности.

Положение человека на этой окружности можно задать параметрически:

Здесь $\varphi$ — угол, отсчитываемый относительно центра маленькой окружности.

В начальный момент человек находится в точке $O$, что соответствует $\varphi=\pi$. После полного обхода окружности:

Расстояние человека от оси вращения диска равно

Подставляя выражения для координат, получаем:

С учётом $a=R/2$:

3. Запишем момент импульса системы.

Пусть $\theta$ — угол поворота диска относительно неподвижной системы отсчёта.

Момент импульса самого диска:

Человек движется относительно диска, который одновременно вращается. Поэтому момент импульса человека относительно точки $O$ равен

При этом

Следовательно,