Во сколько раз длина тени от вертикального шеста в воздухе больше длины тени того же шеста в воде при его полном погружении? Углы падения лучей в обоих случаях одинаковы..

Длина тени вертикального шеста на поверхности зависит от угла падения лучей света и показателя преломления среды, через которую проходят эти лучи. Рассмотрим ситуацию подробно:

1. Шест в воздухе: Когда шест находится в воздухе, длина его тени определяется углом падения лучей света ($\theta$) и высотой шеста ($h$). Длина тени ($L_{\text{воздух}}$) вычисляется как:

   $$L_{\text{воздух}} = h \cdot \tan(\theta)$$

2. Шест в воде: Когда шест погружается в воду, свет преломляется на границе воздух–вода. Это изменение направления света подчиняется закону Снеллиуса:

   $$n_{\text{воздух}} \cdot \sin(\theta) = n_{\text{вода}} \cdot \sin(\theta')$$

   Здесь:

   • $n_{\text{воздух}}$ — показатель преломления воздуха (приблизительно 1),
   • $n_{\text{вода}}$ — показатель преломления воды (приблизительно 1,33),
   • $\theta$ — угол падения в воздухе,
   • $\theta'$ — угол преломления в воде.

   Из закона Снеллиуса выражаем угол преломления:

   $$\sin(\theta') = \frac{\sin(\theta)}{n_{\text{вода}}}$$

   А тангенс угла преломления:

   $$\tan(\theta') = \frac{\sin(\theta')}{\cos(\theta')} = \frac{\frac{\sin(\theta)}{n_{\text{вода}}}}{\sqrt{1 - \left(\frac{\sin^2(\theta)}{n_{\text{вода}}^2}\right)}} = \frac{\sin(\theta)}{\sqrt{n_{\text{вода}}^2 - \sin^2(\theta)}}$$

   Длина тени ($L_{\text{вода}}$) на дне воды будет:

   $$L_{\text{вода}} = h \cdot \tan(\theta')$$

3. Отношение длин теней: Теперь найдём отношение длины тени в воздухе к длине тени в воде:

   $$\frac{L_{\text{воздух}}}{L_{\text{вода}}} = \frac{\tan(\theta)}{\tan(\theta')} = \frac{\tan(\theta)}{\frac{\sin(\theta)}{\sqrt{n_{\text{вода}}^2 - \sin^2(\theta)}}}$$

   Упростим:

   $$\frac{L_{\text{воздух}}}{L_{\text{вода}}} = \frac{\tan(\theta) \cdot \sqrt{n_{\text{вода}}^2 - \sin^2(\theta)}}{\sin(\theta)}$$

   Для малых углов ($\theta$) можно использовать приближённое значение:

   $$\frac{L_{\text{воздух}}}{L_{\text{вода}}} \approx n_{\text{вода}}$$

   Таким образом, если угол падения лучей не слишком велик, длина тени в воздухе будет приблизительно в 1,33 раза больше длины тени в воде.