. Тонкостенный цилиндр, масса которого m=12 кг, а диаметр основания D = 30 см, вращается согласно уравнению φ = A+Bt+Ct3, где A = 4 рад; B = -2 рад/с; С = 0,2 рад/с3. Определить действующий на цилиндр момент сил М в момент времени t = 3 с.

Для решения задачи будем использовать формулу для момента сил, действующих на вращающееся тело:

где:

• $M$ — момент сил,
• $I$ — момент инерции цилиндра,
• $\alpha$ — угловое ускорение.

1. Находим угловое ускорение $\alpha$

Угловое ускорение — это производная угловой скорости по времени. Для этого нужно сначала найти угловую скорость $\omega$, которая является первой производной угла поворота $\varphi$ по времени.

Дано, что у нас уравнение для угла поворота:

где:

• $A = 4$ рад,
• $B = -2$ рад/с,
• $C = 0,2$ рад/с³.

Найдем угловую скорость $\omega(t)$ — первую производную угла по времени:

Подставим значения для $B$ и $C$:

Теперь найдем угловое ускорение $\alpha(t)$ — это производная угловой скорости по времени:

Подставим $t = 3$ с:

2. Находим момент инерции цилиндра $I$

Для тонкостенного цилиндра момент инерции относительно оси вращения, проходящей через его центр и перпендикулярной основанию, рассчитывается по формуле:

где:

• $m = 12$ кг — масса цилиндра,
• $r = \frac{D}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см = 0,15 м — радиус основания.

Теперь подставим данные в формулу для момента инерции:

3. Находим момент сил $M$

Теперь, зная момент инерции и угловое ускорение, можем найти момент сил:

Ответ: момент сил, действующий на цилиндр в момент времени $t = 3$ с, равен $0,972 \, \text{Н} \cdot \text{м}$.