Тело массой $m = 0,5$ кг движется прямолинейно так, что его скорость меняется согласно уравнению $v = A(1–e^{-Dt})$, где $A = 1$ м/с, $D = 1$ с$^{-1}$. Определить работу сил, действующих на тело, за первые две секунды движения, и мощность, развиваемую этими силами, в конце движения.

Для того чтобы решить задачу, необходимо выполнить несколько этапов вычислений.

Дано:

• Масса тела $m = 0,5 \, \text{кг}$,
• Уравнение скорости: $v(t) = A(1 - e^{-Dt})$, где $A = 1 \, \text{м/с}$ и $D = 1 \, \text{с}^{-1}$,
• Необходимо найти работу сил, действующих на тело, за первые 2 секунды движения, а также мощность, развиваемую силами в конце движения (при $t \to \infty$).

1. Определение работы сил за первые две секунды

Работа, совершённая силами, можно найти через изменение кинетической энергии тела. Работа силы на участке времени $[0, t]$ равна разности кинетической энергии в конце и в начале этого интервала:

В момент $t = 0$ скорость тела равна:

Таким образом, начальная кинетическая энергия равна нулю, и работа будет определяться только конечной кинетической энергией:

Теперь подставим значения в уравнение скорости и найдём скорость тела через 2 секунды:

Теперь подставим это значение в выражение для работы:

2. Мощность в конце движения

Мощность — это скорость совершения работы, то есть работа, совершаемая силой, делённая на время. Также можно выразить мощность как произведение силы на скорость тела:

Но сила $F$ можно найти из второго закона Ньютона: $F = ma$, где $a$ — ускорение тела. Ускорение же можно выразить через производную от скорости:

Найдем производную от уравнения скорости:

Таким образом, сила, действующая на тело:

Теперь, чтобы найти мощность в конце движения, нам нужно рассмотреть её в предельный момент времени, когда $t \to \infty$. При $t \to \infty$, экспоненциальный член $e^{-Dt}$ стремится к нулю, и ускорение $a(t)$ также стремится к нулю, следовательно, сила и мощность в конце движения также равны нулю.

Таким образом, мощность, развиваемая силами, в конце движения равна:

Ответ:

• Работа сил за первые две секунды движения: $W \approx 0,187 \, \text{Дж}$,
• Мощность в конце движения: $P_{\infty} = 0 \, \text{Вт}$.