Парашютист массой 90 кг разгоняется в свободном падении до скорости 10 м/с и на высоте 50 м раскрывает парашют, площадь которого составляет 55 м². Коэффициент сопротивления парашюта C = 0,9. Напишите формулы для вычисления ускорения и скорости.

Для решения задачи с парашютистом, который открывает парашют, нам нужно определить его ускорение и скорость после раскрытия парашюта.

Дано:

• Масса парашютиста: $m = 90$ кг
• Начальная скорость перед раскрытием: $v_0 = 10$ м/с
• Высота раскрытия парашюта: $h = 50$ м
• Площадь парашюта: $S = 55$ м²
• Коэффициент аэродинамического сопротивления: $C = 0,9$
• Плотность воздуха: $\rho = 1,225$ кг/м³ (на уровне моря)
• Ускорение свободного падения: $g = 9,81$ м/с²

1. Сила аэродинамического сопротивления после раскрытия парашюта

Сила сопротивления воздуха $F_d$ определяется по формуле:

где:

• $C$ – коэффициент сопротивления (0,9),
• $\rho$ – плотность воздуха (1,225 кг/м³),
• $S$ – площадь парашюта (55 м²),
• $v$ – скорость парашютиста.

После раскрытия парашюта на парашютиста действуют две силы:

1. Сила тяжести: $F_g = mg$
2. Сила сопротивления воздуха: $F_d$

Так как сопротивление воздуха направлено вверх, уравнение движения по второму закону Ньютона будет:

Подставляя выражение для $F_d$:

Выразим ускорение $a$:

2. Найдём скорость со временем

Используем дифференциальное уравнение движения:

Это уравнение нелинейное, и его можно решать численно, но если нас интересует предельная скорость (скорость, при которой ускорение становится нулевым), приравняем $a = 0$:

Решая относительно $v_{\infty}$:

3. Расчёты

Подставим числа:

Вычислим численно:

Это означает, что после раскрытия парашюта скорость уменьшится и стабилизируется около 5,4 м/с.

Если нужно узнать скорость в конкретный момент времени, то необходимо решить дифференциальное уравнение для $v(t)$, что делается численными методами.

Таким образом, после раскрытия парашюта:

• Ускорение вычисляется по формуле:

  $$a = g - \frac{C \rho S v^2}{2m}$$

• Предельная скорость после стабилизации составляет:

  $$v_{\infty} \approx 5,4 \text{ м/с}$$

Парашютист замедлится и безопасно приземлится.