Исследовать функцию и построить её график: $y = \frac{x^2}{x-1}$.

Для того чтобы исследовать функцию $y = \frac{x^2}{x - 1}$, давайте разберемся с её основными характеристиками шаг за шагом.

1. Область определения функции

Для того чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю. Таким образом, нужно решить условие:

Следовательно, область определения функции — это все вещественные числа, кроме $x = 1$. Формально, область определения можно записать как:

2. Асимптоты

2.1. Вертикальная асимптота

Вертикальная асимптота возникает в точке, где знаменатель стремится к нулю, а числитель остаётся ненулевым. В данном случае это точка $x = 1$, так как $x - 1 = 0$ при $x = 1$.

Чтобы уточнить поведение функции при $x \to 1$, рассмотрим пределы слева и справа от точки $x = 1$:

• Когда $x \to 1^-$ (то есть, $x$ стремится к 1 слева), функция стремится к $-\infty$, так как числитель $x^2$ остаётся положительным, а знаменатель $x - 1$ становится отрицательным и малым.
• Когда $x \to 1^+$ (то есть, $x$ стремится к 1 справа), функция стремится к $+\infty$, так как числитель остаётся положительным, а знаменатель $x - 1$ становится положительным и малым.

Следовательно, вертикальная асимптота функции — это прямая $x = 1$.

2.2. Горизонтальная асимптота

Чтобы исследовать горизонтальную асимптоту, нужно рассмотреть поведение функции при $x \to \pm\infty$. Для этого упростим выражение функции:

При $x \to \infty$, $\frac{1}{x} \to 0$, и функция приближается к $y \approx x$. То есть, при $x \to \infty$ (и при $x \to -\infty$ аналогично) функция не имеет горизонтальной асимптоты, так как её значение растёт без ограничения.

3. Нули функции

Для нахождения нулей функции нужно решить уравнение $y = 0$:

Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю (поскольку знаменатель не может быть равен нулю). Таким образом, решение:

Таким образом, функция имеет один ноль при $x = 0$.

4. Производная функции

Для дальнейшего анализа поведения функции удобно найти её первую производную:

Используем правило дифференцирования частного:

Упростим числитель:

Из этого выражения видно, что производная функции равна нулю, когда $x = 0$ или $x = 2$.

Таким образом, функция имеет критические точки в $x = 0$ и $x = 2$. Чтобы понять, является ли это максимумом или минимумом, можно исследовать знак производной.

• При $x < 0$ и $0 < x < 1$, $y' < 0$