Х^6-х^4+5х^2-5=0
Помогите пожалуйста

Рассмотрим уравнение:

Чтобы упростить задачу, можно ввести замену переменной, обозначив $y = x^2$. Тогда $x^4 = y^2$ и $x^6 = y^3$. Подставляя это в уравнение, получаем:

Теперь перед нами кубическое уравнение относительно переменной $y$. Решим его следующим образом:

1. Ищем рациональные корни методом подстановки: Для целых коэффициентов уравнения можно использовать теорему о рациональных корнях. Проверим, подходит ли $y = 1$:

   $$1^3 - 1^2 + 5 \cdot 1 - 5 = 1 - 1 + 5 - 5 = 0$$

   Таким образом, $y = 1$ является корнем уравнения.

2. Разложение на множители: Теперь, когда у нас есть корень $y = 1$, можно разделить $y^3 - y^2 + 5y - 5$ на $y - 1$ с помощью схемы Горнера или обычного деления многочлена на многочлен:

   $$y^3 - y^2 + 5y - 5 = (y - 1)(y^2 + 5)$$

   Теперь уравнение имеет вид:

   $$(y - 1)(y^2 + 5) = 0$$

3. Решаем получившиеся уравнения:

   • Для $y - 1 = 0$: $$y = 1$$
   • Для $y^2 + 5 = 0$: $$y^2 = -5$$ Поскольку $y$ — это квадрат числа $x$, то $y$ должно быть неотрицательным. Поэтому $y^2 = -5$ не имеет вещественных решений.

   Таким образом, единственное вещественное решение для $y$ — это $y = 1$.

4. Возвращаемся к переменной $x$:
   Напомним, что $y = x^2$. Тогда, если $y = 1$, то:

   $$x^2 = 1$$

   Отсюда $x = \pm 1$.

5. Ответ: Уравнение $x^6 - x^4 + 5x^2 - 5 = 0$ имеет два вещественных корня:

   $$x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1$$