Sqrt(x+4*sqrt(x-4))+sqrt(x-4*sqrt(x-4))=4

Чтобы решить данное уравнение $\sqrt{x + 4\sqrt{x - 4}} + \sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}} = 4$, мы можем следовать нескольким шагам:

1. Обозначение переменных: Введём обозначения для упрощения уравнения. Пусть $a = \sqrt{x - 4}$. Таким образом, уравнение преобразуется в $\sqrt{x + 4a} + \sqrt{x - 4a} = 4$.

2. Выражение через $a$: Так как $a = \sqrt{x - 4}$, то $a^2 = x - 4$ и $x = a^2 + 4$. Подставляем это в уравнение: $\sqrt{a^2 + 4 + 4a} + \sqrt{a^2 + 4 - 4a} = 4$.

3. Упрощение: Упростим оба корня:

   • $\sqrt{a^2 + 4 + 4a} = \sqrt{(a + 2)^2} = a + 2$ (поскольку корень квадратный дает неотрицательное значение).
   • $\sqrt{a^2 + 4 - 4a} = \sqrt{(a - 2)^2} = a - 2$.

4. Получение нового уравнения: Теперь у нас есть уравнение $(a + 2) + (a - 2) = 4$.

5. Решение относительно $a$: Упрощаем уравнение: $2a = 4$, откуда $a = 2$.

6. Возвращение к $x$: Так как $a = \sqrt{x - 4}$, то подставляя $a = 2$, получаем $\sqrt{x - 4} = 2$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $x - 4 = 4$.

7. Финальное решение: Отсюда $x = 8$.

Таким образом, решением уравнения $\sqrt{x + 4\sqrt{x - 4}} + \sqrt{x - 4\sqrt{x - 4}} = 4$ является $x = 8$.