Пожалуйста решите дробное неравенство 
(2x разделить на x^2-2x+5) сложить с (3x разделить x^2+2x-5) меньше либо равно 7/8

Предположим, что в условии опечатка и второй знаменатель равен \(x^2+2x+5\). Тогда решение:

Неравенство: \(\frac{2x}{x^2-2x+5}+\frac{3x}{x^2+2x+5}\le\frac{7}{8}\).

Знаменатели всегда положительны: \(x^2-2x+5=(x-1)^2+4>0\), \(x^2+2x+5=(x+1)^2+4>0\). Умножим обе части на \(8(x^2-2x+5)(x^2+2x+5)>0\):

\(8[2x(x^2+2x+5)+3x(x^2-2x+5)]\le 7(x^2-2x+5)(x^2+2x+5)\).

Упростим числитель левой части: \(2x(x^2+2x+5)+3x(x^2-2x+5)=5x^3-2x^2+25x\).

Правая часть: \((x^2-2x+5)(x^2+2x+5)=(x^2+5)^2-(2x)^2=x^4+6x^2+25\).

Получаем: \(8(5x^3-2x^2+25x)\le 7(x^4+6x^2+25)\)
\(40x^3-16x^2+200x\le 7x^4+42x^2+175\)
\(0\le 7x^4-40x^3+58x^2-200x+175\).

Разложим многочлен на множители. Подбором находим корни \(x=1\) и \(x=5\). Деление даёт:
\(7x^4-40x^3+58x^2-200x+175=(x-1)(x-5)(7x^2+2x+35)\).

Квадратный трёхчлен \(7x^2+2x+35\) всегда положителен (дискриминант отрицательный). Поэтому знак произведения зависит только от \((x-1)(x-5)\ge 0\).

Решение: \(x\le 1\) или \(x\ge 5\).

Ответ: \((-\infty;1]\cup[5;+\infty)\).

0 0 Пожаловаться