Найдите, при каких значениях параметра a уравнение (15sinx - a - 5)*(15sinx + 2a - 5) = 0 имеет

Чтобы уравнение $(15\sin x - a - 5)(15\sin x + 2a - 5) = 0$ имело ровно два решения на промежутке $[0; 2\pi)$ , разберем его поэтапно:

1. Разложение на два уравнения:

Уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

15\sin x - a - 5 = 0 \quad \text{или} \quad 15\sin x + 2a - 5 = 0.

Отсюда:

\sin x = \frac{a + 5}{15}, \quad \sin x = \frac{5 - 2a}{15}.

2. Ограничение на синус:

Значение $\sin x$ должно находиться в пределах от $-1$ до $1$ :

-1 \leq \frac{a + 5}{15} \leq 1 \quad \text{и} \quad -1 \leq \frac{5 - 2a}{15} \leq 1.

Для первого уравнения:

-15 \leq a + 5 \leq 15 \quad \Rightarrow \quad -20 \leq a \leq 10.

Для второго уравнения:

-15 \leq 5 - 2a \leq 15 \quad \Rightarrow \quad -10 \leq -2a \leq 10 \quad \Rightarrow \quad -5 \leq a \leq 5.

Итак, $a$ должно одновременно удовлетворять обоим ограничениям:

-5 \leq a \leq 5.

3. Количество решений:

Чтобы уравнение имело ровно два решения на $[0; 2\pi)$ , одно из уравнений должно давать два корня, а второе — ни одного. Это возможно, если одно из значений $\sin x$ находится в пределах $[-1; 1]$ , а другое — за пределами $[-1; 1]$ .

Рассмотрим условия для каждого из уравнений:

Для первого уравнения: $\frac{a + 5}{15} \not\in [-1; 1] \quad \Rightarrow \quad a < -20 \text{ или } a > 10.$
Для второго уравнения: $\frac{5 - 2a}{15} \in [-1; 1].$

Однако, согласно совместному ограничению $-5 \leq a \leq 5$ , значения $a$ из первого условия не подходят. Таким образом, требуется более точный анализ:

Если нужно подробнее, уточни.

Найдите, при каких значениях параметра a уравнение (15sinx - a - 5)*(15sinx + 2a - 5) = 0 имеет ровно два решения на промежутке {0; 2∏).

Ответы и объяснения

1. Разложение на два уравнения:

2. Ограничение на синус:

3. Количество решений:

Рассмотрим условия для каждого из уравнений: